1.7 Relaciones binarias

Sea \(A\) un conjunto. Por una relacion binaria sobre \(A\) entenderemos un subconjunto de \(A^{2}\). Algunos ejemplos:

1. adhocprefix(E1)adhocsufix Sea \(R=\{(1,2),(2,3)\}\). Entonces \(R\) es una relacion binaria sobre \(\mathbf{N}\).

2. adhocprefix(E2)adhocsufix Sea \(R=\{(x,y)\in\omega^{2}:\) \(x\) divide a \(y\}\). Entonces \(R\) es una relacion binaria sobre \(\omega\).

3. adhocprefix(E3)adhocsufix Sea \(R=\{(r,t)\in\mathbf{R}^{2}:r\leq t\}\). Entonces \(R\) es una relacion binaria sobre \(\mathbf{R}\)

4. adhocprefix(E4)adhocsufix \(\emptyset\) es una relacion binaria sobre \(A\), cualesquiera sea el conjunto \(A\).

5. adhocprefix(E5)adhocsufix Sea \(R=\{(x,y)\in\omega^{2}:x<y\) o \(y=0\}\). Entonces \(R\) es una relacion binaria sobre \(\omega\)

Notese que si \(R\) es una relacion binaria sobre \(A\) y \(A\subseteq B\) entonces \(R\) es una relacion binaria sobre \(B\). Por ejemplo las relaciones dadas en los ejemplos (E1), (E2), (E4) y (E5) tambien son relaciones binarias sobre \(\mathbf{R}\). Sin envargo si \(R\) es una relacion binaria sobre \(B\) y \(A\subseteq B\) entonces no necesariamente \(R\) sera una relacion binaria sobre \(A\) (por que?).

Como es usual, cuando \(R\) sea una relacion binaria sobre un conjunto \(A\), algunas veces escribiremos \(aRb\) en lugar de \((a,b)\in R\).

1.7.1 Propiedades notables de relaciones binarias

Hay algunas propiedades que pueden tener o no las relaciones binarias sobre un conjunto \(A\), las cuales son muy importantes en matematica. Algunas de estas son:

1. adhocprefixReflexividadadhocsufix \(xRx\), cualesquiera sea \(x\in A\)

2. adhocprefixTransitividadadhocsufix \(xRy\) y \(yRz\) implica \(xRz\), cualesquiera sean \(x,y,z\in A\)

3. adhocprefixSimetriaadhocsufix \(xRy\) implica \(yRx\), cualesquiera sean \(x,y\in A\)

4. adhocprefixAntisimetriaadhocsufix \(xRy\) y \(yRx\) implica \(x=y\), cualesquiera sean \(x,y\in A\)

Cuando \(R\) cumpla la primer propiedad diremos que \(R\) es reflexiva, con respecto a \(A\). Analogamente diremos que \(R\) es transitiva, simetrica o antisimetrica, con respecto a \(A\), cuando se den, respectivamente las otras propiedades. Notese que estas propiedades dependen del conjunto \(A\), por ejemplo si tomamos \(R=\{(r,t)\in\mathbf{N}^{2}:r\leq t\}\) entonces \(R\) es una relacion binaria sobre \(\mathbf{N}\) y tambien es una relacion binaria sobre \(\omega\), pero es relexiva con respecto a \(\mathbf{N}\) y no lo es con respecto a \(\omega\) ya que \((0,0)\) no pertenece a \(R\). Sin envargo \(R\) es transitiva con respecto a \(\mathbf{N}\) y tambien lo es con respecto a \(\omega\).

1.7.2 Ordenes parciales

Una relacion binaria \(R\) sobre un conjunto \(A\) sera llamada un orden parcial sobre \(A\) si es reflexiva, transitiva y antisimetrica respecto de \(A\). Algunos ejemplos:

1. adhocprefix(E1)adhocsufix Sea \(R=\{(r,t)\in\mathbf{R}^{2}:r\leq t\}\). Entonces \(R\) es un orden parcial sobre \(\mathbf{R}\), llamado el orden usual de \(\mathbf{R}\)

2. adhocprefix(E2)adhocsufix Sea \(R=\{(1,2),(1,3),(1,1),(2,2),(3,3)\}\). Entonces \(R\) es un orden parcial sobre \(\{1,2,3\}\)

3. adhocprefix(E3)adhocsufix Sea \(R=\{(S,T)\in\mathcal{P}(\omega)^{2}:S\subseteq T\}\). Entonces \(R\) es un orden parcial sobre \(\mathcal{P}(\omega)\)

4. adhocprefix(E4)adhocsufix Sea \(R=\{(x,y)\in\omega^{2}:\) \(x\leq y\}\). Entonces \(R\) es un orden parcial sobre \(\omega\).

5. adhocprefix(E5)adhocsufix Sea \(R=\{(1,1)\}\). Entonces \(R\) es un orden parcial sobre \(\{1\}\).

6. adhocprefix(E6)adhocsufix \(\{(a,b):a=b\}\) es un orden parcial sobre \(A\), cualesquira sea el conjunto \(A\)

7. adhocprefix(E7)adhocsufix Sea \(\mathrm{\leq}=\{(n,m)\in\mathbf{N}^{2}:n\mid m\}\). Es facil ver que \(\leq\) es un orden parcial sobre \(\mathbf{N}\)

Notese que las relaciones dadas en (E1) y (E4) son distintas, ademas la relacion dada en (E4) no es un orden parcial sobre \(\mathbf{R}\) (por que?).

Muchas veces denotaremos con \(\leq\) a una relacion binaria que sea un orden parcial. Esto hace mas intuitiva nuestra escritura pero siempre hay que tener en cuenta que \(\leq\) en estos casos esta denotando cierto conjunto de pares ordenados previamente definido.

Usaremos la siguiente

1. adhocprefixConvencion notacionaladhocsufix Si hemos denotado con \(\leq\) a cierto orden parcial sobre un conjunto \(A\), entonces

   1. Denotaremos con \(<\) a la relacion binaria \(\{(a,b)\in A^{2}:a\leq b\) y \(a\neq b\}\). Es decir que \(\mathrm{<}=\{(a,b)\in A^{2}:a\leq b\) y \(a\neq b\}\). Cuando se de \(a<b\) diremos que \(a\) es menor que \(b\) o que \(b\) es mayor que \(a\) (respecto de \(\leq\))

   2. Denotaremos con \(\prec\) a la relacion binaria \[\{(a,b)\in A^{2}:a<b\text{ y no existe }z\text{ tal que }a<z<b\}\] Cuando se de \(a\prec b\) diremos que \(a\) es cubierto por \(b\) o que \(b\) cubre a \(a\) (respecto de \(\leq\))

Algunos ejemplos:

1. adhocprefix(E1)adhocsufix Si \(A=\mathbf{R}\) y \(\mathrm{\leq}=\{(r,t)\in\mathbf{R}^{2}:r=t\}\), entonces \(\mathrm{<}=\emptyset\)

2. adhocprefix(E2)adhocsufix Si \(A=\{1,2,3,4\}\) y \(\mathrm{\leq}=\{(1,2),(2,3),(1,3),(1,1),(2,2),(3,3),(4,4)\}\), entonces \(\mathrm{<}=\{(1,2),(2,3),(1,3)\}\) y \(\mathrm{\prec}=\{(1,2),(2,3)\}\). En particular tenemos que \(1\prec2\), \(1<3\) pero no se da que \(1\prec3\).

3. adhocprefix(E3)adhocsufix Si \(A=\mathcal{P}(\omega)\) y \(\mathrm{\leq}=\{(S,T)\in\mathcal{P}(\omega)^{2}:S\subseteq T\}\), entonces \(\mathrm{<}=\{(S,T)\in\mathcal{P}(\omega)^{2}:S\subsetneq T\}\) y \(S\prec T\) sii hay un \(n\in T-S\) tal que \(T=S\cup\{n\}\)

1.7.2.1 Ordenes totales sobre un conjunto

Sea \(A\) un conjunto cualquiera. Por un orden total sobre \(A\) entenderemos un orden parcial \(\leq\) sobre \(A\) el cual cumpla:

1. adhocprefix(C)adhocsufix \(a\leq b\) o \(b\leq a\), cualesquiera sean \(a,b\in A\)

Supongamos \(A\) es finito no vacio y \(\leq\) es un orden total sobre \(A\). La propiedad (C) nos permite probar que para cada conjunto no vacio \(S\subseteq A\), hay un elemento \(s\in S\) el cual cumple \(s\leq s^{\prime}\) para cada \(s^{\prime}\in S\). Por supuesto, \(s\) es unico (por que?) y habitualmente es llamado el menor elemento de \(S\), ya que es menor que todo otro elemento de \(S\).

Si \(A\) es finito no vacio y \(\leq\) es un orden total sobre \(A\), podemos definir recursivamente una funcion \(f:\{1,...,\left\vert A\right\vert \}\rightarrow A\) de la siguiente manera:

1. adhocprefix-adhocsufix \(f(1)=\) menor elemento de \(A\)

2. adhocprefix-adhocsufix Si \(i\in\{1,...,\left\vert A\right\vert -1\}\), entonces

   1. adhocprefix-adhocsufix \(f(i+1)=\) menor elemento de \(A-\{f(1),...,f(i)\}\)

Como es habitual, \(f(i)\) es llamado el \(i\)-esimo elemento de \(A\).

Muchas veces para dar un orden total sobre un conjunto finito \(A\), daremos simplemente sus elementos en forma creciente ya que esto determina el orden por completo. Por ejemplo si \(A=\{1,2,3\}\), el orden total dado por \(2<1<3\) es la relacion \(\mathrm{\leq}=\{(2,1),(1,3),(2,3),(1,1),(2,2),(3,3)\}\).

Un concepto importante relativo a los ordenes totales es el de sucesor. Si \(\leq\) es un orden total sobre \(A\) y \(a,b\in A\), diremos que \(b\) es el sucesor de \(a\) cuando se de que \(a<b\) y \(b\leq c\), para cada \(c\in A\) tal que \(a<c\), i.e., \(b\) es el menor elemento del conjunto \(\{c\in A:\) tal que \(a<c\}\). No siempre existe el sucesor de un elemento. Por ejemplo si \(\leq\) es el orden usual de \(\mathbf{R}\), entonces ningun elemento tiene sucesor (justifique).

1.7.2.2 Diagramas de Hasse

Dado un orden parcial \(\leq\) sobre un conjunto finito \(A\) podemos realizar un diagrama de \(\leq\), llamado diagrama de Hasse, siguiendo las siguientes instrucciones:

1. adhocprefix(1)adhocsufix Asociar en forma inyectiva, a cada \(a\in\) \(A\) un punto \(p_{a}\) del plano

2. adhocprefix(2)adhocsufix Trazar un segmento de recta uniendo los puntos \(p_{a}\) y \(p_{b}\), cada vez que \(a\prec b\)

3. adhocprefix(3)adhocsufix Realizar lo indicado en los puntos (1) y (2) en tal forma que

   1. adhocprefix(i)adhocsufix Si \(a\prec b\), entonces \(p_{a}\) esta por debajo de \(p_{b}\)

   2. adhocprefix(ii)adhocsufix Si un punto \(p_{a}\) ocurre en un segmento del diagrama entonces lo hace en alguno de sus extremos.

La relacion de orden \(\leq\) puede ser facilmente obtenida de su diagrama, a saber, \(a\leq b\) sucedera si y solo si \(p_{a}=p_{b}\) o hay una sucesion de segmentos ascendentes desde \(p_{a}\) hasta \(p_{b}\).

Ejemplos:

1.7.3 Relaciones de equivalencia

Sea \(A\) un conjunto cualquiera. Por una relacion de equivalencia sobre \(A\) entenderemos una relacion binaria sobre \(A\) la cual es reflexiva, transitiva y simetrica, con respecto a \(A\), es decir, la cual cumple:

1. adhocprefixReflexividadadhocsufix \(xRx\), cualesquiera sea \(x\in A\)

2. adhocprefixTransitividadadhocsufix \(xRy\) y \(yRz\) implica \(xRz\), cualesquiera sean \(x,y,z\in A\)

3. adhocprefixSimetriaadhocsufix \(xRy\) implica \(yRx\), cualesquiera sean \(x,y\in A\)

Algunos ejemplos:

1. adhocprefix(E1)adhocsufix Sea \(R=\{(r,t)\in\mathbf{R}^{2}:r=t\}\). Entonces \(R\) es una relacion de equivalencia sobre \(\mathbf{R}\)

2. adhocprefix(E2)adhocsufix Dada una funcion \(f:A\rightarrow B\), el nucleo de \(f\), i.e. \(\ker(f)=\{(a,b)\in A^{2}:f(a)=f(b)\}\) es una relacion de equivalencia sobre \(A\).

3. adhocprefix(E3)adhocsufix Sea \(R=\{(1,1),(2,2),(3,3),(1,2),(2,1)\}\). Entonces \(R\) es una relacion de equivalencia sobre \(\{1,2,3\}\)

4. adhocprefix(E4)adhocsufix Sea \(R=\{(x,y)\in\omega^{2}:x=y\}\). Entonces \(R\) es una relacion de equivalencia sobre \(\omega\)

5. adhocprefix(E5)adhocsufix Sea \(R=\{(S,T)\in\mathcal{P}(\omega)^{2}:(S-T)\cup(T-S)\) es finito\(\}\). Entonces \(R\) es una relacion de equivalencia sobre \(\mathcal{P}(\omega)\)

6. adhocprefix(E7)adhocsufix Sea \(R=\{(1,1)\}\). Entonces \(R\) es una relacion de equivalencia sobre \(\{1\}\).

7. adhocprefix(E8)adhocsufix Sea \(R=\{(x,y)\in\mathbf{Z}^{2}:x-y\) es multiplo de \(2\}\). Entonces \(R\) es una relacion de equivalencia sobre \(\mathbf{Z}\).

Dada una relacion de equivalencia \(R\) sobre \(A\) y \(a\in A\), definimos: \[a/R=\{b\in A:aRb\}\] El conjunto \(a/R\) sera llamado la clase de equivalencia de \(a\), con respecto a \(R\). Ejemplos:

1. adhocprefix(E1)adhocsufix Si \(R=\{(r,t)\in\mathbf{R}^{2}:r=t\}\), entonces \(r/R=\{r\}\), cualesquier sea \(r\in\mathbf{R}\)

2. adhocprefix(E2)adhocsufix Si \(R=\{(1,1),(2,2),(3,3),(1,2),(2,1)\}\), entonces \(1/R=2/R=\{1,2\}\) y \(3/R=\{3\}\)

3. adhocprefix(E3)adhocsufix Si \(R=\{(x,y)\in\mathbf{Z}^{2}:x-y\) es multiplo de \(2\}\), entonces \(0/R=\{t\in\mathbf{Z}:t\) es par\(\}\), \(1/R=\{t\in\mathbf{Z}:t\) es impar\(\}\) y en general notese que \(n/R=\{t\in\mathbf{Z}:t\) es par\(\}\) si \(n\) es par y \(n/R=\{t\in\mathbf{Z}:t\) es impar\(\}\) si \(n\) es impar. Es decir que hay solo dos clases de equivalencia con respecto a \(R\)

Algunas propiedades basicas son:

Proof. (1) es muy facil.

(2) Supongamos \(aRb\). Veremos que \(a/R\subseteq b/R\). Supongamos \(c\in a/R\). Entonces \(aRc\). Como \(aRb\), tenemos que \(bRa\), por lo cual hemos probado que \(bRa\) y \(aRc\), lo cual implica que \(bRc\). O sea que \(cRb\), lo cual nos dice que \(c\in b/R\). Esto prueba que \(a/R\subseteq b/R\). Similarmente se prueba que \(b/R\subseteq a/R\), con lo cual se tiene que \(a/R=b/R\).

Reciprocamente, si \(a/R=b/R\), entonces \(b\in a/R\) ya que \(b\in b/R\). Pero esto nos dice que \(aRb\).

(3) Supongamos que \(a/R\cap b/R\) no es vacio, es decir hay un \(c\in a/R\cap b/R\). Entonces es facil ver que \(aRb\). Pero entonces por (2) tenemos que \(a/R=b/R\).  

Denotaremos con \(A/R\) al conjunto \(\{a/R:a\in A\}\). Llamaremos a \(A/R\) el cociente de \(A\) por \(R\). Ejemplos:

1. adhocprefix(E1)adhocsufix Si \(R=\{(r,t)\in\mathbf{R}^{2}:r=t\}\), entonces \(\mathbf{R}/R=\{\{r\}:r\in\mathbf{R}\}\)

2. adhocprefix(E2)adhocsufix Si \(R=\{(1,1),(2,2),(3,3),(1,2),(2,1)\}\), entonces \(\{1,2,3\}/R=\{\{1,2\},\{3\}\}\)

3. adhocprefix(E3)adhocsufix Si \(R=\{(x,y)\in\mathbf{Z}^{2}:x-y\) es multiplo de \(2\}\), ya vimos que \(\mathbf{Z}/R=\{\{t\in\mathbf{Z}:t\) es par\(\},\{t\in\mathbf{Z}:t\) es impar\(\}\}\)

Si \(R\) es una relacion de equivalencia sobre \(A\), definamos la funcion \(\pi_{R}:A\rightarrow A/R\) por \(\pi_{R}(a)=a/R\), para cada \(a\in A\). La funcion \(\pi_{R}\) es llamada la proyeccion canonica (respecto de \(R\)).

1.7.3.1 Correspondencia entre relaciones de equivalencia y particiones

Dado un conjunto \(A\) por una particion de \(A\) entenderemos un conjunto \(\mathcal{P}\) tal que:

1. adhocprefix-adhocsufix Cada elemento de \(\mathcal{P}\) es un subconjunto no vacio de \(A\)

2. adhocprefix-adhocsufix Si \(S_{1},S_{2}\in\mathcal{P}\) y \(S_{1}\neq S_{2}\), entonces \(S_{1}\cap S_{2}=\emptyset\)

3. adhocprefix-adhocsufix \(A=\{a:a\in S\), para algun \(S\in\mathcal{P}\}\)

La ultima condicion dice simplemente que la union de todos los elementos de \(\mathcal{P}\) debe ser \(A\). Ejemplos:

1. adhocprefix(E1)adhocsufix Si \(A=\{1,2,3,4,5\}\), entonces \[\mathcal{P}=\{\{1,5\},\{2,3\},\{4\}\}\]

   es una particion de \(A\)

2. adhocprefix(E2)adhocsufix \(\mathcal{P}=\{\mathbf{N},\mathbf{R}-\mathbf{N}\}\) es una particion de \(\mathbf{R}\)

3. adhocprefix(E3)adhocsufix \(\mathcal{P}=\{\{0\},\{1,2\},\{3,4\},\{5,6\},\{7,8\},\{9,10\},...\}\) es una particion de \(\omega\)

Una observacion importante es que si \(\mathcal{P}\) es una particion de \(A\), entonces para cada \(a\in A\) hay un unico \(S\in\mathcal{P}\) tal que \(a\in S\) (por que?). O sea que podemos hablar de EL elemento de \(\mathcal{P}\) que contiene a \(a\).

Dada una particion \(\mathcal{P}\) de un conjunto \(A\) podemos definir una relacion binaria asociada a \(\mathcal{P}\) de la siguiente manera: \[R_{\mathcal{P}}=\{(a,b)\in A^{2}:a,b\in S\text{, para algun }S\in\mathcal{P}\}\]

Proof. (1). Es facil ver que \(R_{\mathcal{P}}\) es reflexiva y simetrica. Veamos que es transitiva. Supongamos que \(aR_{\mathcal{P}}b\) y \(bR_{\mathcal{P}}c\). O sea que hay \(S_{1},S_{2}\in\mathcal{P}\) tales que \(a,b\in S_{1}\) y \(b,c\in S_{2}\). Ya que \(S_{1}\) y \(S_{2}\) tienen un elemento en comun, debera suceder que \(S_{1}=S_{2}\). Pero entonces tenemos que \(a,c\in S_{1}\), lo cual nos dice que \(aR_{\mathcal{P}}c\).

(2). Sigue facilmente del Lema 1.3.  

El siguiente teorema da una correspondencia natural entre relaciones de equivalencia sobre \(A\) y particiones de \(A\).

Proof. Notese que por el Lema 1.2 basta con probar:

1. adhocprefix(1)adhocsufix \(A/R_{\mathcal{P}}=\mathcal{P}\), cualesquiera sea la particion \(\mathcal{P}\) de \(A\)

2. adhocprefix(2)adhocsufix \(R_{A/R}=R\), cualesquiera sea la relacion de equivalencia \(R\) sobre \(A\)

Prueba de (1). Primero veamos que \(A/R_{\mathcal{P}}\subseteq\mathcal{P}\). Sea \(a\in A\), veremos que \(a/R_{\mathcal{P}}=\{b:aR_{\mathcal{P}}b\}\in\mathcal{P}\). Sea \(S\) el unico elemento de \(\mathcal{P}\) que contiene a \(a\). Es facil ver de la definicion de \(R_{\mathcal{P}}\) que \(a/R_{\mathcal{P}}=S\) por lo cual \(a/R_{\mathcal{P}}\in\mathcal{P}\). Veamos ahora que \(\mathcal{P}\subseteq A/R_{\mathcal{P}}\). Sea \(S\in\mathcal{P}\). Sea \(a\in S\). Es facil ver de la definicion de \(R_{\mathcal{P}}\) que \(a/R_{\mathcal{P}}=S\) por lo cual \(S\in A/R_{\mathcal{P}}\).

Prueba de (2). Primero veamos que \(R_{A/R}\subseteq R\). Supongamos \(aR_{A/R}b\). Entonces \(a,b\in c/R\), para algun \(c\in A\). Es claro que entonces \(aRb\). Veamos ahora que \(R\subseteq R_{A/R}\). Supongamos que \(aRb\). Entonces \(a,b\in a/R\), lo cual nos dice que \(aR_{A/R}b\).  

El teorema anterior muestra que a nivel de informacion es lo mismo tener una relacion de equivalencia sobre \(A\) que tener una particion de \(A\). Esto es muy util ya que muchas veces es mas facil especificar una relacion de equivalencia via su particion asociada. Por ejemplo si hablamos de la relacion de equivalencia sobre \(\{1,2,3,4,5\}\) dada por la particion \[\mathcal{P}=\{\{1,5\},\{4\},\{2,3\}\}\] nos estaremos refiriendo a \(R_{\mathcal{P}}\), es decir a la relacion: \[\{(1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(5,5),(1,5),(5,1),(2,3),(3,2)\}\]

1.7.3.2 Definicion de funciones con dominio \(A/R\)

Supongamos \(R\) es una relacion de equivalencia sobre \(\mathbf{R}\) y supongamos definimos una funcion \(f:\mathbf{R}/R\rightarrow\mathbf{R}\) de la siguiente manera: \[f(r/R)=r^{2}\] A priori puede pareser que esta definicion es natural y que no esconde ninguna posible complicacion. Pero veamos que pueden surgir problemas dependiendo de como es \(R\). Supongamos que \(R\) es tal que \(2R6\). Entonces tendriamos que \(2/R=6/R\), lo cual nos diria obviamente que \(f(2/R)=f(6/R)\). Pero \(f(2/R)=2^{2}=4\) y \(f(6/R)=6^{2}=36\), por lo cual deberia suceder que \(4\) sea igual a \(36\). El problema aqui es que la ecuacion \(f(r/R)=r^{2}\) no esta definiendo en forma correcta o inhambigua una funcion ya que el supuesto valor de la funcion en una clase de equivalencia dada depende de que representante de la clase usamos para denotarla. Si usamos el 2 la ecuacion nos dice que entonces \(f\) debe valer 4 y si usamos el 6 la ecuacion nos dice que \(f\) debe valer 36. Claramente no estamos definiendo una funcion.

Para dar un ejemplo mas concreto de este fenomeno de ambiguedad, supongamos \[R=\{(x,y)\in\mathbf{Z}^{2}:x-y\text{ es multiplo de }2\}\] y definimos una funcion \(f:\mathbf{Z}/R\rightarrow\mathbf{R}\) de la siguiente manera: \[f(n/R)=1/(n^{2}+1)\] Como ya vimos \(\mathbf{Z}/R=\{\{t\in\mathbf{Z}:t\) es par\(\},\{t\in\mathbf{Z}:t\) es impar\(\}\}\), por lo cual facilmente se puede llegar a que la ecuacion \(f(n/R)=1/(n^{2}+1)\) no define correctamente una funcion. Por ejemplo, si llamamos \(c\) a la clase \(\{t\in\mathbf{Z}:t\) es par\(\}\) tenemos que la ecuacion nos diria que \(f(c)=f(0/R)=1/(0^{2}+1)=1\) y que tambien \(f(c)=f(2/R)=1/(2^{2}+1)=1/5\).

Sin envargo hay muchos casos en los cuales este tipo de definiciones son inhambiguas y desde luego muy importantes en el algebra moderna. Como un primer ejemplo tenemos el siguiente lema el cual es una de las ideas fundamentales del algebra moderna.

Proof. Que la ecuacion \(\bar{f}(a/\ker f)=f(a)\) define sin ambiguedad una funcion \(\bar{f}:A/\ker f\rightarrow B\) es obvio ya que si \(a/\ker f=b/\ker f\), entonces por definicion de \(\ker f\) debera suceder que \(a=b\). Dejamos al lector la prueba de que \(\bar{f}\) es inyectiva. Es obvio que \(f\) y \(\bar{f}\) tienen la misma imagen por lo cual si \(f\) es suryectiva, \(\bar{f}\) lo sera.