El concepto de funcion

1.6 El concepto de funcion

Asumiremos que el lector tiene una idea intuitiva del concepto de funcion. Daremos aqui una definicion matematica de dicho concepto. Una funcion es un conjunto $f$ de pares ordenados con la siguiente propiedad

(F) Si $(x, y) \in f$ y $(x, z) \in f$ , entonces $y = z$ .

Por ejemplo, si tomamos $f = {(x, x^{2}) : x \in ω}$ se puede ver facilmente que $f$ cumple la propiedad (F). Otro ejemplo, $f = {(x, 1) : x \in {1, 6, 18}}$ es una funcion.

Dada una funcion $f$ , definamos $\begin{aligned} D_{f} & = \textsl{dominio} de f = {x : (x, y) \in f paraalgun y} \\ I_{f} & = \textsl{imagen} de f = {y : (x, y) \in f paraalgun x} \end{aligned}$ A veces escribiremos $D o m (f)$ y $I m (f)$ para denotar, respectivamente, el dominio y la imagen de una funcion $f$ . Notese que $\emptyset$ es una funcion y que $D_{\emptyset} = I_{\emptyset} = \emptyset$ . Si $f = {(x, x^{2}) : x \in ω}$ se tiene que $D_{f} = ω$ y $I_{f} = {y : y = x^{2}$ para algun $x \in ω}$ . Si $f = {(x, 1) : x \in {1, 6, 18}}$ , entonces $D_{f} = {1, 6, 18}$ y $I_{f} = {1}$ .

Convencion Notacional 1: Como es usual, dado $x \in D_{f}$ , usaremos $f (x)$ para denotar al unico $y \in I_{f}$ tal que $(x, y) \in f$ . Por ejemplo, si $f = {(x, x^{2}) : x \in ω}$ se tiene que $f (x) = x^{2}$ , para cada $x \in D_{f} = ω$ .
Convencion Notacional 2: Escribiremos $f : S \subseteq A \to B$ para expresar que $f$ es una funcion tal que $D_{f} = S \subseteq A$ y $I_{f} \subseteq B$ . Tambien escribiremos $f : A \to B$ para expresar que $f$ es una funcion tal que $D_{f} = A$ y $I_{f} \subseteq B$ . En tal contexto llamaremos a $B$ conjunto de llegada. Por supuesto $B$ no esta determinado por $f$ ya que solo debe cumplir $I_{f} \subseteq B$ . Es decir que cualquier conjunto $B$ que contenga a $I_{f}$ puede ser considerado conjunto de llegada de $f$ .
Convencion Notacional 3: Muchas veces para definir una funcion $f$ , lo haremos dando su dominio y su regla de asignacion, es decir especificaremos en forma precisa que conjunto es el dominio de $f$ y ademas especificaremos en forma presisa quien es $f (x)$ para cada $x$ de dicho dominio. Obviamente esto determina por completo a la funcion $f$ ya que siempre se da que $f = {(x, f (x)) : x \in D_{f}}$ . Por ejemplo si decimos que $f$ es la funcion dada por: $\begin{aligned} D_{f} & = ω \\ f (x) & = 23 x^{2} \end{aligned}$ nos estaremos refiriendo a la funcion ${(x, 23 x^{2}) : x \in ω}$ . Tambien escribiremos $\begin{aligned} f : ω & \to & ω \\ x & \to & 23 x^{2} \end{aligned}$ para describir a $f$ . Es decir, a veces para hacer mas intuitiva aun la descripcion de la funcion, tambien incluiremos un conjunto de llegada de dicha funcion y a la regla de asignacion la escribiremos usando una flecha. Para dar otro ejemplo, si escribimos sea $f$ dada por: $\begin{aligned} f : N & \to & ω \\ x & \to & {\begin{array}{ccc} x + 1 & si x es par \\ x^{2} & si x es impar \end{array} \end{aligned}$ estaremos diciendo que $f$ es la funcion ${(x, x + 1) : x es par y x \in N} \cup {(x, x^{2}) : x es impar y x \in N}$

1.6.1 Igualdad de funciones

Sean $f$ y $g$ dos funciones. Ya que las mismas son conjuntos, tendremos que $f$ sera igual a $g$ si y solo si para cada par $(a, b)$ , se tiene que $(a, b) \in f$ sii $(a, b) \in g$ . Muchas veces sera util el siguiente criterio de igualdad de funciones:

1.1. Sean $f$ y $g$ funciones. Entonces $f = g$ sii $D_{f} = D_{g}$ y para cada $x \in D_{f}$ se tiene que $f (x) = g (x)$

Proof. $(\Rightarrow)$ Es obvio.

$(\Leftarrow)$ Supongamos que $D_{f} = D_{g}$ y que para cada $x \in D_{f}$ se tiene que $f (x) = g (x)$ . Sea $(a, b) \in f$ . La Convencion Notacional 1 nos dice que $f (a) = b$ . Ya que $a \in D_{f}$ y $D_{f} = D_{g}$ , tenemos que $a \in D_{g}$ . Ya que $f (a) = g (a)$ , tenemos que $g (a) = b$ . Pero entonces la Convencion Notacional 1 nos dice que $(a, b) \in g$ .

En forma similar se prueba que si $(a, b) \in g$ , entonces $(a, b) \in f$ , con lo cual se tiene que $f = g$ .

1.6.2 Funcion identidad

Dado un conjunto $A$ , a la funcion $\begin{aligned} A & \to & A \\ a & \to & a \end{aligned}$ La denotaremos con $I d_{A}$ y la llamaremos la funcion identidad sobre $A$ . Notese que $I d_{A} = {(a, a) : a \in A}$ .

1.6.3 Composicion de funciones

Dadas funciones $f$ y $g$ definamos la funcion $f \circ g$ de la siguiente manera: $\begin{aligned} D_{f \circ g} & = {e \in D_{g} : g (e) \in D_{f}} \\ f \circ g (e) & = f (g (e)) \end{aligned}$ Notese que $f \circ g = {(e, f (g (e))) : e \in D_{g} y g (e) \in D_{f}}$ (ver Convencion Notacional 3). Veamos un ejemplo. Si $f$ es dada por $\begin{aligned} f : N & \to & {@, %}^{*} \\ x & \to & @ %^{x} @ \end{aligned}$ y $g$ es dada por $\begin{aligned} g : R & \to & R \\ x & \to & x^{2} \end{aligned}$ entonces tenemos que $f \circ g$ es la funcion $\begin{aligned} f \circ g : {x \in R : x^{2} \in N} & \to & {@, %}^{*} \\ x & \to & @ %^{x^{2}} @ \end{aligned}$

1.2. Sean $f, g$ funciones cualesquiera.

(1) $f \circ g = {(u, v) :$ existe $z$ tal que $(u, z) \in g$ y $(z, v) \in f}$
(2) $f \circ g \neq \emptyset$ si y solo si $I_{g} \cap D_{f} \neq \emptyset$ , lo cual nos dice que muchas veces sucedera que $f \circ g = \emptyset$

Proof. (1). Sea $A = {(u, v) : existe z tal que (u, z) \in g y (z, v) \in f}$ . Ya que $f \circ g = {(e, f (g (e))) : e \in D_{g} y g (e) \in D_{f}}$ debemos entonces probar que ${(e, f (g (e))) : e \in D_{g} y g (e) \in D_{f}} = A$ Supongamos entonces que $(u, v) \in {(e, f (g (e))) : e \in D_{g} y g (e) \in D_{f}}$ . Se tiene que $u \in D_{g}, g (u) \in D_{f} y v = f (g (u))$ . Es claro que tomando $z = g (u)$ se cumple la condicion que define a $A$ , por lo caul hemos probado que $(u, v) \in A$ . Reciprocamente supongamos que $(u, v) \in A$ . O sea que hay un $z$ tal que $(u, z) \in g y (z, v) \in f$ . Esto nos dice que $u \in D_{g}$ , $z \in D_{f}$ , $z = g (u)$ y $v = f (z)$ . O sea que $(u, v) = (u, f (z)) = (u, f (g (u))$ y como $u \in D_{g} y g (u) \in D_{f}$ , tenemos que $(u, v) \in {(e, f (g (e))) : e \in D_{g} y g (e) \in D_{f}}$ .

(2). Si $f \circ g \neq \emptyset$ , entonces $D_{f \circ g}$ debe ser no vacio. Pero por definicion tenemos que $D_{f \circ g} = {e \in D_{g} : g (e) \in D_{f}}$ . Es decir que existe un $e \in D_{g}$ tal que $g (e) \in D_{f}$ . Obviamente $g (e) \in I_{g} \cap D_{f}$ , por lo cual $I_{g} \cap D_{f} \neq \emptyset$ . Reciprocamente supongamos que $I_{g} \cap D_{f} \neq \emptyset$ . Sea $x_{0}$ un elemento de $I_{g} \cap D_{f}$ . Ya que $x_{0} \in I_{g}$ tenemos que hay un $e_{0} \in D_{g}$ tal que $x_{0} = g (e_{0})$ . Notar que entonces por definicion de $D_{f \circ g}$ tenemos que $e_{0} \in D_{f \circ g}$ . Esto claramente dice que $f \circ g \neq \emptyset$ .

1.6.4 Regla Pertenecer a la Imagen

A la hora de probar enunciados acerca de funciones hay una regla o idea basica que si la tenemos en cuenta nos facilitara la construccion de la prueba.

Regla Pertenecer a la Imagen: Si $f$ es una funcion y ud sabe que $b \in I_{f}$ , entonces escriba a $b$ en la forma $f (a)$ donde $a$ denotara un elemento fijo de $D_{f}$ tal que $f (a) = b$

Muchas veces tener esta regla en mente es de suma utilidad al hacer pruebas. Por ejemplo el lector puede notar que esta regla fue usada tacitamente en la prueba de (2) del lema anterior.

Esa regla aqui es simplemente un consejo o sugerencia pero gana su existencia material en un entorno de inteligencia artificial al transformarse en parte de la estructura de un probador automatico de teoremas!

1.6.5 Funciones inyectivas, suryectivas y biyectivas

Una funcion $f$ es inyectiva cuando no se da que $f (a) = f (b)$ para algun par de elementos distintos $a, b \in D_{f}$ . Dicho de otra manera, $f$ sera inyectiva cuando se de la implicacion $f (a) = f (b) implica \ensuremath{a=b}$ cualesquiera sean $a, b \in D_{f} .$ Dada una funcion $f : A \to B$ diremos que $f$ es suryectiva cuando $I_{f} = B$ . Debe notarse que el concepto de suryectividad depende de un conjunto de llegada previamente fijado, es decir que no tiene sentido hablar de la suryectividad de una funcion $f$ si no decimos respecto de que conjunto de llegada lo es. Muchas veces diremos que una funcion $f$ es sobre para expresar que es suryectiva.

Dada una funcion $f : A \to B$ diremos que $f$ es biyectiva cuando $f$ sea inyectiva y suryectiva. Tambien diremos que $f$ es una biyeccion de $A$ en $B$ cuando $f : A \to B$ sea biyectiva. Notese que si $f : A \to B$ es biyectiva, entonces para cada $b \in B$ hay un unico $a \in A$ tal que $f (a) = b .$ Entonces cuando $f : A \to B$ es biyectiva podemos definir una nueva funcion $f^{- 1} : B \to A$ , de la siguiente manera: $f^{- 1} (b) = unico a \in A tal que f (a) = b$ La funcion $f^{- 1}$ sera llamada la inversa de $f$ . Notese que $f \circ f^{- 1} = I d_{B}$ y $f^{- 1} \circ f = I d_{A}$ . El siguiente lema muestra que esta ultima propiedad caracteriza la inversa.

1.3. Supongamos $f : A \to B$ y $g : B \to A$ son tales que $f \circ g = I d_{B}$ y $g \circ f = I d_{A}$ . Entonces $f$ y $g$ son biyectivas, $f^{- 1} = g$ y $g^{- 1} = f$ .

Proof. Veamos que $f$ es inyectiva. Supongamos $f (a) = f (b)$ , con $a, b \in A$ . Entonces $g (f (a)) = g (f (b))$ . O sea que $g \circ f (a) = g \circ f (b)$ . Pero $g \circ f = I d_{A}$ por lo cual obtenemos que $a = b .$ Veamos que $f$ es suryectiva. Sea $b \in B .$ Ya que $f \circ g = I d_{B}$ tenemos que $f (g (b)) = b$ lo cual nos dice que $b \in I_{f} .$ Esto prueba que $I_{f} = B$ por lo cual $f$ es sobreyectiva. Veamos que $f^{- 1} = g$ . Lo haremos aplicando el Lema 1.1. Por la definicion de $f^{- 1}$ tenemos que $D_{f^{- 1}} = B = D_{g}$ . Sea $b \in B$ . Veamos que $f^{- 1} (b) = g (b)$ . Por definicion de $f^{- 1}$ tenemos que $f^{- 1} (b) = unico a \in A tal que f (a) = b$ Pero sabemos que $f (g (b)) = b$ (ya que $f \circ g = I d_{B}$ ), por lo cual la unicidad nos asegura que $f^{- 1} (b) = g (b)$ . Esto conclute la prueba de que $f^{- 1} = g$ .

La prueba de que $b$ es biyectiva y que $g^{- 1} = f$ es completamente analoga.

1.6.6 El nucleo de una funcion

Dada una funcion $f : A \to B$ , definamos: $\ker (f) = {(a, b) \in A^{2} : f (a) = f (b)}$ El conjunto $\ker (f)$ sera llamado el nucleo de $f$ . Notese que $f$ es inyectiva si y solo si $\ker (f) = {(a, a) : a \in A}$ . Cabe destacar que $\ker (f)$ es una relacion de equivalencia muy importante asociada a la funcion $f$ .

1.6.7 Funcion caracteristica de un subconjunto

Sea $X$ un conjunto cualquiera y sea $S \subseteq X$ . Usaremos $χ_{S}^{X}$ para denotar la funcion $\begin{array}{rcl} χ_{S}^{X} : X & \to & ω \\ x & \to & {\begin{matrix} 1 si x \in S \\ 0 si x \notin S \end{matrix} \end{array}$ Llamaremos a $χ_{S}^{X}$ la funcion caracteristica de $S$ con respecto a $X$ . Muchas veces cuando el conjunto $X$ este fijo y sea claro el contexto, escribiremos $χ_{S}$ en lugar de $χ_{S}^{X}$ .

1.6.8 Restriccion de una funcion

Dada una funcion $f$ y un conjunto $S \subseteq D_{f}$ , usaremos $f |_{S}$ para denotar la restriccion de $f$ al conjunto $S$ , i.e. $f |_{S} = f \cap (S \times I_{f})$ . Notese que $f |_{S}$ es la funcion dada por $\begin{aligned} D_{f |_{S}} & = S \\ f |_{S} (e) & = f (e), para cada e \in S \end{aligned}$ Notese que cualesquiera sea la funcion $f$ tenemos que $f |_{\emptyset} = \emptyset$ y $f |_{D_{f}} = f$ .

1.6.9 Funciones de la forma $[f_{1}, . . ., f_{n}]$

Dadas funciones $f_{1}, . . ., f_{n}$ , con $n \geq 2$ , definamos la funcion $[f_{1}, . . ., f_{n}]$ de la siguiente manera: $\begin{aligned} D_{[f_{1}, . . ., f_{n}]} & = D_{f_{1}} \cap . . . \cap D_{f_{n}} \\ [f_{1}, . . ., f_{n}] (e) & = (f_{1} (e), . . ., f_{n} (e)) \end{aligned}$ Notese que $I_{[f_{1}, . . ., f_{n}]} \subseteq I_{f_{1}} \times \dots \times I_{f_{n}}$ . Por conveniencia notacional (que el lector entendera mas adelante) definiremos $[f_{1}] = f_{1}$ . Es decir que hemos definido para cada sucecion de funciones $f_{1}, . . ., f_{n}$ , con $n \geq 1$ , una nueva funcion la cual denotamos con $[f_{1}, . . ., f_{n}]$ .

1.6.10 Union de funciones con dominios disjuntos

Una observacion interesante es que si $f_{i} : A_{i} \to B_{i}$ , $i = 1, . . ., k$ , son funciones tales que $A_{i} \cap A_{j} = \emptyset$ para $i \neq j$ , entonces el conjunto $f_{1} \cup . . . \cup f_{k}$ es una funcion, mas concretamente la siguiente funcion: $\begin{aligned} A_{1} \cup . . . \cup A_{k} & \to & B_{1} \cup . . . \cup B_{k} \\ e & \to & {\begin{array}{clc} f_{1} (e) & si e \in A_{1} \\ ⋮ & ⋮ \\ f_{k} (e) & si e \in A_{k} \end{array} \end{aligned}$ Se suele decir que la funcion $f_{1} \cup . . . \cup f_{k}$ es definida por casos a partir de las funciones $f_{1}, . . ., f_{k}$ . Es importante notar que si no se da la condicion $A_{i} \cap A_{j} = \emptyset$ para $i \neq j$ , el conjunto $f_{1} \cup . . . \cup f_{k}$ puede no ser una funcion. Dejamos al lector dar un ejemplo.