En esta seccion daremos una definicion matematica que modeliza la idea intuitiva de cuando una formula de tipo \(\tau\) es verdadera en una estructura dada para una asignacion de elementos a las variables libres de dicha formula. Esto corresponde al punto (2) del Programa de Logica Matematica.
Sea \(\mathbf{A}=(A,i)\) una estructura de tipo \(\tau\). Una asignacion de \(\mathbf{A}\) sera un elemento de \(A^{\mathbf{N}}=\{\)infinituplas de elementos de \(A\}\). Si \(\vec{a}=(a_{1},a_{2},...)\) es una asignacion, entonces diremos que \(a_{j}\) es el valor que \(\vec{a}\) le asigna a la variable \(x_{j}\).
Dada una estructura \(\mathbf{A}\) de tipo \(\tau\), un termino \(t\in T^{\tau}\) y una asignacion \(\vec{a}=(a_{1},a_{2},...)\in A^{\mathbf{N}}\) definamos recursivamente \(t^{\mathbf{A}}[\vec{a}]\) de la siguiente manera
adhocprefix(1)adhocsufix Si \(t=x_{i}\in Var\), entonces \(t^{\mathbf{A}}[\vec{a}]=a_{i}\)
adhocprefix(2)adhocsufix Si \(t=c\in\mathcal{C}\), entonces \(t^{\mathbf{A}}[\vec{a}]=i(c)\)
adhocprefix(3)adhocsufix Si \(t=f(t_{1},...,t_{n})\), con \(f\in\mathcal{F}_{n},\;n\geq1\) y \(t_{1},...,t_{n}\in T^{\tau}\), entonces \(t^{\mathbf{A}}[\vec{a}]=i(f)(t_{1}^{\mathbf{A}}[\vec{a}],...,t_{n}^{\mathbf{A}}[\vec{a}])\)
El elemento \(t^{\mathbf{A}}[\vec{a}]\) sera llamado el valor de \(t\) en la estructura \(\mathbf{A}\) para la asignacion \(\vec{a}\).
Veamos un ejemplo. Sea \(\tau\) el tipo \[(\{\mathrm{uno},\mathrm{doli}\},\{\mathrm{MAS},\mathrm{P}\},\{\mathrm{Her}\},\{(\mathrm{MAS},4),(\mathrm{P},1),(\mathrm{Her},3)\})\] y sea \(\mathbf{A}=(A,i)\) la estructura de tipo \(\tau\) con universo \(A=\mathbf{R}\) y
adhocprefix-adhocsufix \(i(\mathrm{uno})=9\)
adhocprefix-adhocsufix \(i(\mathrm{doli})=0\)
adhocprefix-adhocsufix \(i(\mathrm{MAS})\) igual a la operacion \[\begin{array}{rcl} \mathbf{R}^{4} & \rightarrow & \mathbf{R}\\ (x,y,z,w) & \rightarrow & 2x+4y \end{array}\]
adhocprefix-adhocsufix \(i(\mathrm{P})\) igual a la operacion \[\begin{array}{rcl} \mathbf{R} & \rightarrow & \mathbf{R}\\ x & \rightarrow & 5^{x} \end{array}\]
adhocprefix-adhocsufix \(i(\mathrm{Her})=\{(x,y,z)\in\mathbf{R}^{3}:x.y.z=9\}\)
Sea \(\vec{a}=(1,2,3,4,5,...)\). Claramente \(\vec{a}\) es una asignacion de \(\mathbf{A}\). Se tiene que:
Si \(t=\mathsf{X}\mathit{55}\mathbf{4}\), entonces \(t^{\mathbf{A}}[\vec{a}]=\mathsf{X}\mathit{55}\mathbf{4}^{\mathbf{A}}[\vec{a}]=554\) (por (1) de la definicion recursiva de \(t^{\mathbf{A}}[\vec{a}]\))
Si \(t=\mathrm{uno}\), entonces \(t^{\mathbf{A}}[\vec{a}]=\mathrm{uno}^{\mathbf{A}}[\vec{a}]=9\) (por (2) de la definicion recursiva de \(t^{\mathbf{A}}[\vec{a}]\))
Si \(t=\mathrm{P}(\mathsf{X}\mathbf{3})\), entonces \[\begin{aligned} t^{\mathbf{A}}[\vec{a}] & =\mathrm{P}(\mathsf{X}\mathbf{3})^{\mathbf{A}}[\vec{a}]\\ & =i(\mathrm{P})(\mathsf{X}\mathbf{3}^{\mathbf{A}}[\vec{a}])\text{ (por (3) de la definicion de }t^{\mathbf{A}}[\vec{a}]\text{)}\\ & =i(\mathrm{P})(3)\\ & =5^{3}=125 \end{aligned}\]
Si \(t=\mathrm{MAS}(\mathsf{X}\mathbf{1},\mathrm{uno},\mathsf{X}\mathbf{3},\mathsf{X}\mathit{55}\mathbf{4})\), entonces \[\begin{aligned} t^{\mathbf{A}}[\vec{a}] & =\mathrm{MAS}(\mathsf{X}\mathbf{1},\mathrm{uno},\mathsf{X}\mathbf{3},\mathsf{X}\mathit{55}\mathbf{4})^{\mathbf{A}}[\vec{a}]\\ & =i(\mathrm{MAS})(\mathsf{X}\mathbf{1}^{\mathbf{A}}[\vec{a}],\mathrm{uno}^{\mathbf{A}}[\vec{a}],\mathsf{X}\mathbf{3}^{\mathbf{A}}[\vec{a}],\mathsf{X}\mathit{55}\mathbf{4}^{\mathbf{A}}[\vec{a}])\\ & =i(\mathrm{MAS})(1,9,3,554)\\ & =2.1+4.9=38 \end{aligned}\]
7.13. Sea \(\mathbf{A}\) una estructura de tipo \(\tau\) y sea \(t\in T^{\tau}\). Supongamos que \(\vec{a},\vec{b}\) son asignaciones tales que \(a_{i}=b_{i},\) cada vez que \(x_{i}\) ocurra en \(t\). Entonces \(t^{\mathbf{A}}[\vec{a}]=t^{\mathbf{A}}[\vec{b}]\).
Proof. Sea
Teo\(_{k}\): El lema vale para \(t\in T_{k}^{\tau}\).
Teo\(_{0}\) es facil de probar. Veamos Teo\(_{k}\Rightarrow\)Teo\(_{k+1}\). Supongamos \(t\in T_{k+1}^{\tau}-T_{k}^{\tau}\) y sean \(\vec{a},\vec{b}\) asignaciones tales que \(a_{i}=b_{i}\), cada vez que \(x_{i}\) ocurra en \(t\). Notese que \(t=f(t_{1},...,t_{n})\), con \(f\in\mathcal{F}_{n}\),\(\;n\geq1\) y \(t_{1},...,t_{n}\in T_{k}^{\tau}\). Notese que para cada \(j=1,...,n\), tenemos que \(a_{i}=b_{i},\) cada vez que \(x_{i}\) ocurra en \(t_{j}\), lo cual por Teo\(_{k}\) nos dice que \[t_{j}^{\mathbf{A}}[\vec{a}]=t_{j}^{\mathbf{A}}[\vec{b}]\text{, }j=1,...,n\] Se tiene entonces que \[\begin{array}{ccl} t^{\mathbf{A}}[\vec{a}] & = & i(f)(t_{1}^{\mathbf{A}}[\vec{a}],...,t_{n}^{\mathbf{A}}[\vec{a}])\text{ (por def de }t^{\mathbf{A}}[\vec{a}]\text{)}\\ & = & i(f)(t_{1}^{\mathbf{A}}[\vec{b}],...,t_{n}^{\mathbf{A}}[\vec{b}])\\ & = & t^{\mathbf{A}}[\vec{b}]\text{ (por def de }t^{\mathbf{A}}[\vec{b}]\text{)} \end{array}\]
Fijemos un tipo \(\tau\). A continuacion definiremos matematicamente una relacion \(\mathbf{"A}\models\varphi[\vec{a}]"\), donde \(\mathbf{A}\) es una estructura de tipo \(\tau\), \(\vec{a}\) es una asignacion y \(\varphi\in F^{\tau}\). Intuitivamente hablando \(\mathbf{A}\models\varphi[\vec{a}]\) significara que la formula \(\varphi\) es verdadera en la estructura \(\mathbf{A}\) cuando le asignamos a las variables libres de \(\varphi\) los valores que asigna \(\vec{a}\). Escribiremos \(\mathbf{A}\not\models\varphi[\vec{a}]\) para expresar que no se da \(\mathbf{A}\models\varphi[\vec{a}]\). Nuestra definicion matematica sera recursiva y mas abajo explicaremos por que la definicion es precisa o rigurosa matematicamente hablando. Dada una estructura \(\mathbf{A}\) de tipo \(\tau\), una asignacion \(\vec{a}\in A^{\mathbf{N}}\) y \(a\in A\), con \(\downarrow_{i}^{a}(\vec{a})\) denotaremos la asignacion que resulta de reemplazar en \(\vec{a}\) el \(i\)-esimo elemento por \(a\). Ahora si la definicion recursiva:
adhocprefix(1)adhocsufix Si \(\varphi=(t\equiv s),\) entonces
adhocprefix-adhocsufix \(\mathbf{A}\models\varphi[\vec{a}]\) si y solo si \(t^{\mathbf{A}}[\vec{a}]=s^{\mathbf{A}}[\vec{a}]\)
adhocprefix(2)adhocsufix Si \(\varphi=r(t_{1},...,t_{m})\), entonces
adhocprefix-adhocsufix \(\mathbf{A}\models\varphi[\vec{a}]\) si y solo si \((t_{1}^{\mathbf{A}}[\vec{a}],...,t_{m}^{\mathbf{A}}[\vec{a}])\in i(r)\)
adhocprefix(3)adhocsufix Si \(\varphi=(\varphi_{1}\wedge\varphi_{2})\), entonces
adhocprefix-adhocsufix \(\mathbf{A}\models\varphi[\vec{a}]\) si y solo si \(\mathbf{A}\models\varphi_{1}[\vec{a}]\) y \(\mathbf{A}\models\varphi_{2}[\vec{a}]\)
adhocprefix(4)adhocsufix Si \(\varphi=(\varphi_{1}\vee\varphi_{2})\), entonces
adhocprefix-adhocsufix \(\mathbf{A}\models\varphi[\vec{a}]\) si y solo si \(\mathbf{A}\models\varphi_{1}[\vec{a}]\) o \(\mathbf{A}\models\varphi_{2}[\vec{a}]\)
adhocprefix(5)adhocsufix Si \(\varphi=(\varphi_{1}\rightarrow\varphi_{2})\), entonces
adhocprefix-adhocsufix \(\mathbf{A}\models\varphi[\vec{a}]\) si y solo si \(\mathbf{A}\not\models\varphi_{1}[\vec{a}]\) o \(\mathbf{A}\models\varphi_{2}[\vec{a}]\)
adhocprefix(6)adhocsufix Si \(\varphi=(\varphi_{1}\leftrightarrow\varphi_{2})\), entonces
adhocprefix-adhocsufix \(\mathbf{A}\models\varphi[\vec{a}]\) si y solo si ya sea se dan \(\mathbf{A}\models\varphi_{1}[\vec{a}]\) y \(\mathbf{A}\models\varphi_{2}[\vec{a}]\) o se dan \(\mathbf{A}\not\models\varphi_{1}[\vec{a}]\) y \(\mathbf{A}\not\models\varphi_{2}[\vec{a}]\)
adhocprefix(7)adhocsufix Si \(\varphi=\lnot\varphi_{1},\) entonces
adhocprefix-adhocsufix \(\mathbf{A}\models\varphi[\vec{a}]\) si y solo si \(\mathbf{A}\not\models\varphi_{1}[\vec{a}]\)
adhocprefix(8)adhocsufix Si \(\varphi=\forall x_{i}\varphi_{1}\), entonces
adhocprefix-adhocsufix \(\mathbf{A}\models\varphi[\vec{a}]\) si y solo si para cada \(a\in A\), se da que \(\mathbf{A}\models\varphi_{1}[\downarrow_{i}^{a}(\vec{a})]\)
adhocprefix(9)adhocsufix Si \(\varphi=\exists x_{i}\varphi_{1}\), entonces
adhocprefix-adhocsufix \(\mathbf{A}\models\varphi[\vec{a}]\) si y solo si hay un \(a\in A\) tal que \(\mathbf{A}\models\varphi_{1}[\downarrow_{i}^{a}(\vec{a})]\)
Para ver que la definicion de la relacion “\(\mathbf{A}\models\varphi[\vec{a}]"\) es correcta, notemos que en (1) y (2) se dice cuando se da \(\mathbf{A}\models\varphi[\vec{a}]\) y cuando no se da \(\mathbf{A}\models\varphi[\vec{a}]\) para el caso en que \(\varphi\) es atomica, es decir el caso en que \(\varphi\in F_{0}^{\tau}\). Las siguientes clausulas nos aseguran que si ya esta definido cuando se da \(\mathbf{A}\models\varphi[\vec{a}]\) y cuando no se da \(\mathbf{A}\models\varphi[\vec{a}]\) para el caso en que \(\varphi\in F_{k}^{\tau}\), entonces tambien queda definido cuando se da \(\mathbf{A}\models\varphi[\vec{a}]\) y cuando no se da \(\mathbf{A}\models\varphi[\vec{a}]\) para el caso en que \(\varphi\in F_{k+1}^{\tau}\). De esta forma comensando desde la capa \(0\) vemos que se va determinando para todas las formulas de las distintas capas cuando vale y cuando no vale la relacion \(\mathbf{A}\models\varphi[\vec{a}]\).
Cuando se de \(\mathbf{A}\models\varphi[\vec{a}]\) diremos que la estructura \(\mathbf{A}\) satisface \(\varphi\) en la asignacion \(\vec{a}\) y en tal caso diremos que \(\varphi\) es verdadera en \(\mathbf{A}\) para la asignacion \(\vec{a}\). Cuando no se de \(\mathbf{A}\models\varphi[\vec{a}]\) diremos que la estructura \(\mathbf{A}\) no satisface \(\varphi\) en la asignacion \(\vec{a}\) y en tal caso diremos que \(\varphi\) es falsa en \(\mathbf{A}\) para la asignacion \(\vec{a}\). Tambien hablaremos del valor de verdad de \(\varphi\) en \(\mathbf{A}\) para la asignacion \(\vec{a}\) el cual sera igual a \(1\) si se da \(\mathbf{A}\models\varphi[\vec{a}]\) y \(0\) en caso contrario.
Veamos algunos ejemplos. Sea \(\tau\) el tipo \[(\{\mathrm{uno},\mathrm{doli}\},\{\mathrm{MAS},\mathrm{P}\},\{\mathrm{Her}\},\{(\mathrm{MAS},4),(\mathrm{P},1),(\mathrm{Her},3)\})\] y sea \(\mathbf{A}=(A,i)\) la estructura de tipo \(\tau\) con universo \(A=\mathbf{R}\) y
adhocprefix-adhocsufix \(i(\mathrm{uno})=9\)
adhocprefix-adhocsufix \(i(\mathrm{doli})=0\)
adhocprefix-adhocsufix \(i(\mathrm{MAS})\) igual a la operacion \[\begin{array}{rcl} \mathbf{R}^{4} & \rightarrow & \mathbf{R}\\ (x,y,z,w) & \rightarrow & 2x+4y \end{array}\]
adhocprefix-adhocsufix \(i(\mathrm{P})\) igual a la operacion \[\begin{array}{rcl} \mathbf{R} & \rightarrow & \mathbf{R}\\ x & \rightarrow & 5^{x} \end{array}\]
adhocprefix-adhocsufix \(i(\mathrm{Her})=\{(x,y,z)\in\mathbf{R}^{3}:x.y.z=9\}\)
Sea \(\vec{a}=(1,2,3,4,5,...)\). Claramente \(\vec{a}\) es una asignacion de \(\mathbf{A}\). Consideremos los siguientes ejemplos:
adhocprefix(E1)adhocsufix Si \(\varphi=(\mathrm{MAS}(\mathsf{X}\mathbf{1},\mathrm{uno},\mathsf{X}\mathbf{3},\mathsf{X}\mathit{55}\mathbf{4})\equiv\mathrm{P}(\mathsf{X}\mathbf{3}))\), entonces ya que
\(\mathrm{MAS}(\mathsf{X}\mathbf{1},\mathrm{uno},\mathsf{X}\mathbf{3},\mathsf{X}\mathit{55}\mathbf{4})^{\mathbf{A}}[\vec{a}]=38\)
\(\mathrm{P}(\mathsf{X}\mathbf{3})^{\mathbf{A}}[\vec{a}]=125\)
tenemos que (1) de la definicion nos dice que \(\mathbf{A}\models\varphi[\vec{a}]\) si y solo si \(38=125\) por lo cual se saca que \(\mathbf{A}\not\models\varphi[\vec{a}]\).
adhocprefix(E2)adhocsufix Si \(\varphi=\lnot\mathrm{Her}(\mathrm{P}(\mathrm{P}(\mathsf{X}\mathbf{6})),\mathsf{X}\mathbf{3},\mathrm{doli})\), entonces ya que
adhocprefix-adhocsufix \(\mathrm{P}(\mathrm{P}(\mathsf{X}\mathbf{6}))^{\mathbf{A}}[\vec{a}]=5^{(5^{6})}\)
adhocprefix-adhocsufix \(\mathsf{X}\mathbf{3}^{\mathbf{A}}[\vec{a}]=3\)
adhocprefix-adhocsufix \(\mathrm{doli}^{\mathbf{A}}[\vec{a}]=0\)
tenemos que (7) de la definicion nos dice que \(\mathbf{A}\models\varphi[\vec{a}]\) si y solo si \(\mathbf{A}\not\models\mathrm{Her}(\mathrm{P}(\mathrm{P}(\mathsf{X}\mathbf{6})),\mathsf{X}\mathbf{3},\mathrm{doli})[\vec{a}]\). Pero (2) de la definicion nos dice que \(\mathbf{A}\models\mathrm{Her}(\mathrm{P}(\mathrm{P}(\mathsf{X}\mathbf{6})),\mathsf{X}\mathbf{3},\mathrm{doli})[\vec{a}]\) si y solo si \((5^{(5^{6})},3,0)\in i(\mathrm{Her})\) ya que no se da que \((5^{(5^{6})},3,0)\in i(\mathrm{Her})\), tenemos que \(\mathbf{A}\not\models\mathrm{Her}(\mathrm{P}(\mathrm{P}(\mathsf{X}\mathbf{6})),\mathsf{X}\mathbf{3},\mathrm{doli})[\vec{a}]\) lo cual nos dice que \(\mathbf{A}\models\varphi[\vec{a}]\).
adhocprefix(E3)adhocsufix Si \(\varphi=\exists\mathsf{X}\mathbf{3}\mathrm{Her}(\mathsf{X}\mathbf{6},\mathsf{X}\mathbf{3},\mathrm{uno})\), entonces por (9) de la definicion tenemos que
adhocprefix-adhocsufix \(\mathbf{A}\models\varphi[\vec{a}]\) sii hay un \(r\in\mathbf{R}\) tal que \(\mathbf{A}\models\mathrm{Her}(\mathsf{X}\mathbf{6},\mathsf{X}\mathbf{3},\mathrm{uno})[\downarrow_{3}^{r}(\vec{a})]\)
es decir que
adhocprefix-adhocsufix \(\mathbf{A}\models\varphi[\vec{a}]\) sii hay un \(r\in\mathbf{R}\) tal que \(\mathbf{A}\models\mathrm{Her}(\mathsf{X}\mathbf{6},\mathsf{X}\mathbf{3},\mathrm{uno})[(1,2,r,4,5,6,...)]\)
Pero (2) de la definicion nos dice que cualquiera sea \(r\in\mathbf{R}\) se tiene que
adhocprefix-adhocsufix \(\mathbf{A}\models\mathrm{Her}(\mathsf{X}\mathbf{6},\mathsf{X}\mathbf{3},\mathrm{uno})[(1,2,r,4,5,6,...)]\) sii \((6,r,9)\in i(\mathrm{Her})\)
O sea que obtenemos finalmente que
adhocprefix-adhocsufix \(\mathbf{A}\models\varphi[\vec{a}]\) sii hay un \(r\in\mathbf{R}\) tal que \(6.r.9=9\)
Lo cual claramente implica que \(\mathbf{A}\models\varphi[\vec{a}]\) ya que podemos tomar \(r=1/6\).
adhocprefix(E4)adhocsufix Si \(\varphi=\forall\mathsf{X}\mathbf{3(}(\mathsf{X}\mathbf{4}\equiv\mathsf{X}\mathbf{3})\rightarrow\exists\mathsf{X}\mathbf{6}\mathrm{Her}(\mathsf{X}\mathbf{6},\mathsf{X}\mathbf{3},\mathrm{uno}))\), entonces por (8) de la definicion tenemos que
adhocprefix-adhocsufix \(\mathbf{A}\models\varphi[\vec{a}]\) sii para cada \(r\in\mathbf{R}\) se da que \[\mathbf{A}\models\mathbf{(}(\mathsf{X}\mathbf{4}\equiv\mathsf{X}\mathbf{3})\rightarrow\exists\mathsf{X}\mathbf{6}\mathrm{Her}(\mathsf{X}\mathbf{6},\mathsf{X}\mathbf{3},\mathrm{uno}))[\downarrow_{3}^{r}(\vec{a})]\]
es decir que
adhocprefix-adhocsufix \(\mathbf{A}\models\varphi[\vec{a}]\) sii para cada \(r\in\mathbf{R}\) se da que \[\mathbf{A}\models\mathbf{(}(\mathsf{X}\mathbf{4}\equiv\mathsf{X}\mathbf{3})\rightarrow\exists\mathsf{X}\mathbf{6}\mathrm{Her}(\mathsf{X}\mathbf{6},\mathsf{X}\mathbf{3},\mathrm{uno}))[(1,2,r,4,5,6,...)]\]
Pero entonces (5) de la definicion nos dice que
adhocprefix-adhocsufix \(\mathbf{A}\models\varphi[\vec{a}]\) sii para cada \(r\in\mathbf{R}\) se da que \[\mathbf{A}\not\models(\mathsf{X}\mathbf{4}\equiv\mathsf{X}\mathbf{3})[(1,2,r,4,5,6,...)]\text{ o }\mathbf{A}\models\exists\mathsf{X}\mathbf{6}\mathrm{Her}(\mathsf{X}\mathbf{6},\mathsf{X}\mathbf{3},\mathrm{uno}))[(1,2,r,4,5,6,...)]\] O sea que
adhocprefix-adhocsufix \(\mathbf{A}\models\varphi[\vec{a}]\) sii para cada \(r\in\mathbf{R}\) se da que \[r\neq4\text{ o }\mathbf{A}\models\exists\mathsf{X}\mathbf{6}\mathrm{Her}(\mathsf{X}\mathbf{6},\mathsf{X}\mathbf{3},\mathrm{uno}))[(1,2,r,4,5,6,...)]\] Es decir que debemos ver cuando se da que \(\mathbf{A}\models\exists\mathsf{X}\mathbf{6}\mathrm{Her}(\mathsf{X}\mathbf{6},\mathsf{X}\mathbf{3},\mathrm{uno}))[(1,2,r,4,5,6,...)]\). Por (9) y (2) de la definicion tenemos que cualquiera sea el \(r\in\mathbf{R}\) se da que
adhocprefix-adhocsufix \(\mathbf{A}\models\exists\mathsf{X}\mathbf{6}\mathrm{Her}(\mathsf{X}\mathbf{6},\mathsf{X}\mathbf{3},\mathrm{uno}))[(1,2,r,4,5,6,...)]\) sii hay un \(s\in\mathbf{R}\) tal que \(s.r.9=9\).
Esto nos dice finalmente que
adhocprefix-adhocsufix \(\mathbf{A}\models\varphi[\vec{a}]\) sii para cada \(r\in\mathbf{R}\) se da que \[r\neq4\text{ o hay un }s\in\mathbf{R}\text{ tal que }s.r.9=9\]
Pensando un poco esto nos dice que \(\mathbf{A}\models\varphi[\vec{a}]\) (separar los casos \(r=4\) y \(r\neq4\))
7.14. Supongamos que \(\vec{a},\vec{b}\) son asignaciones tales que si \(x_{i}\in Li(\varphi),\) entonces \(a_{i}=b_{i}.\) Entonces \(\mathbf{A}\models\varphi[\vec{a}]\) sii \(\mathbf{A}\models\varphi[\vec{b}]\)
Proof. Probaremos por induccion en \(k\) que el lema vale para cada \(\varphi\in F_{k}^{\tau}\). El caso \(k=0\) se desprende del Lema 7.13. Veamos que Teo\(_{k}\) implica Teo\(_{k+1}.\) Sea \(\varphi\in F_{k+1}^{\tau}-F_{k}^{\tau}.\) Hay varios casos:
CASO \(\varphi=(\varphi_{1}\wedge\varphi_{2})\).
Ya que \(Li(\varphi_{i})\subseteq Li(\varphi)\), \(i=1,2\), Teo\(_{k}\) nos dice que \(\mathbf{A}\models\varphi_{i}[\vec{a}]\) sii \(\mathbf{A}\models\varphi_{i}[\vec{b}]\), para \(i=1,2\). Se tiene entonces que \[\begin{array}{l} \mathbf{A}\models\varphi[\vec{a}]\\ \ \ \Updownarrow\text{ (por (3) en la def de }\mathbf{A}\models\varphi[\vec{a}]\text{)}\\ \mathbf{A}\models\varphi_{1}[\vec{a}]\text{ y }\mathbf{A}\models\varphi_{2}[\vec{a}]\\ \ \ \Updownarrow\text{ (por Teo}_{k}\text{)}\\ \mathbf{A}\models\varphi_{1}[\vec{b}]\text{ y }\mathbf{A}\models\varphi_{2}[\vec{b}]\\ \ \ \Updownarrow\text{(por (3) en la def de }\mathbf{A}\models\varphi[\vec{a}]\text{)}\\ \mathbf{A}\models\varphi[\vec{b}] \end{array}\]
CASO \(\varphi=(\varphi_{1}\vee\varphi_{2})\).
Es completamente similar al anterior.
CASO \(\varphi=(\varphi_{1}\rightarrow\varphi_{2})\).
Es completamente similar al anterior.
CASO \(\varphi=(\varphi_{1}\leftrightarrow\varphi_{2})\).
Es completamente similar al anterior.
CASO \(\varphi=\lnot\varphi_{1}.\)
Es completamente similar al anterior.
CASO \(\varphi=\forall x_{j}\varphi_{1}.\)
Supongamos \(\mathbf{A}\models\varphi[\vec{a}]\). Entonces por (8) en la def de \(\mathbf{A}\models\varphi[\vec{a}]\) se tiene que \(\mathbf{A}\models\varphi_{1}[\downarrow_{j}^{a}(\vec{a})]\), para todo \(a\in A\). Notese que \(\downarrow_{j}^{a}(\vec{a})\) y \(\downarrow_{j}^{a}(\vec{b})\) coinciden en toda \(x_{i}\in Li(\varphi_{1})\) ya que \(Li(\varphi_{1})\subseteq Li(\varphi)\cup\{x_{j}\}\). O sea que por Teo\(_{k}\) se tiene que \(\mathbf{A}\models\varphi_{1}[\downarrow_{j}^{a}(\vec{b})]\), para todo \(a\in A\), lo cual por (8) en la def de \(\mathbf{A}\models\varphi[\vec{a}]\) nos dice que \(\mathbf{A}\models\varphi[\vec{b}]\). La prueba de que \(\mathbf{A}\models\varphi[\vec{b}]\) implica que \(\mathbf{A}\models\varphi[\vec{a}]\) es similar.
CASO \(\varphi=\exists x_{j}\varphi_{1}\).
Es similar al anterior.
7.1. Si \(\varphi\) es una sentencia, entonces \(\mathbf{A}\models\varphi[\vec{a}]\) sii \(\mathbf{A}\models\varphi[\vec{b}]\), cualesquiera sean las asignaciones \(\vec{a},\vec{b}\).
En virtud del corolario anterior tenemos que el valor de verdad de una sentencia \(\varphi\) en una estructura dada \(\mathbf{A}\) para una asignacion \(\vec{a}\) no depende de \(\vec{a}\), es decir este valor es ya sea \(1\) para todas las asignaciones o \(0\) para todas las asignaciones. En el primer caso diremos que \(\varphi\) es verdadera en \(\mathbf{A}\) (y escribiremos \(\mathbf{A}\models\varphi\)) y en el segundo caso diremos que \(\varphi\) es falsa en \(\mathbf{A}\) (y escribiremos \(\mathbf{A}\not\models\varphi\))
Una sentencia de tipo \(\tau\) sera llamada universalmente valida si es verdadera en cada modelo de tipo \(\tau\).
Dadas \(\varphi,\psi\in F^{\tau}\) diremos que \(\varphi\) y \(\psi\) son equivalentes cuando se de la siguiente condicion
adhocprefix-adhocsufix \(\mathbf{A}\models\varphi[\vec{a}]\) si y solo si \(\mathbf{A}\models\psi[\vec{a}]\), para cada modelo de tipo \(\tau\), \(\mathbf{A}\) y cada \(\vec{a}\in A^{\mathbf{N}}\)
Escribiremos \(\varphi\thicksim\psi\) cuando \(\varphi\) y \(\psi\) sean equivalentes. Notese que \[\{(\varphi,\psi)\in F^{\tau}:\varphi\thicksim\psi\}\] es una relacion de equivalencia sobre \(F^{\tau}\).
7.15. Se tiene que:
adhocprefix(a)adhocsufix Si \(Li(\phi)\cup Li(\psi)\subseteq\{x_{i_{1}},...,x_{i_{n}}\},\) entonces \(\phi\thicksim\psi\) si y solo si la sentencia \(\forall x_{i_{1}}...\forall x_{i_{n}}(\phi\leftrightarrow\psi)\) es universalmente valida.
adhocprefix(b)adhocsufix Si \(\phi_{i}\thicksim\psi_{i},\) \(i=1,2,\) entonces \(\lnot\phi_{1}\thicksim\lnot\psi_{1},\) \((\phi_{1}\eta\phi_{2})\thicksim(\psi_{1}\eta\psi_{2})\) y \(Qv\phi_{1}\thicksim Qv\psi_{1}.\)
adhocprefix(c)adhocsufix Si \(\phi\thicksim\psi\) y \(\alpha^{\prime}\) es el resultado de reemplazar en una formula \(\alpha\) algunas (posiblemente \(0\)) ocurrencias de \(\phi\) por \(\psi\), entonces \(\alpha\thicksim\alpha^{\prime}.\)
Proof. (a) Tenemos que \[\begin{array}{l} \gamma\thicksim\psi\\ \ \ \Updownarrow\text{ (por (6) de la def de}\models\text{)}\\ \mathbf{A}\models(\gamma\leftrightarrow\psi)[\vec{a}]\text{, para todo }\mathbf{A}\text{ y toda }\vec{a}\in A^{\mathbf{N}}\\ \ \ \Updownarrow\\ \mathbf{A}\models(\gamma\leftrightarrow\psi)[\downarrow_{i_{n}}^{a}(\vec{a})]\text{, para todo }\mathbf{A}\text{, }a\in A\text{ y toda }\vec{a}\in A^{\mathbf{N}}\\ \ \ \Updownarrow(\text{por (8) de la def de}\models)\\ \mathbf{A}\models\forall x_{i_{n}}(\gamma\leftrightarrow\psi)[\vec{a}]\text{, para todo }\mathbf{A}\text{ y toda }\vec{a}\in A^{\mathbf{N}}\\ \ \ \Updownarrow\\ \mathbf{A}\models\forall x_{i_{n}}(\gamma\leftrightarrow\psi)[\downarrow_{i_{n-1}}^{a}(\vec{a})]\text{, para todo }\mathbf{A}\text{, }a\in A\text{ y toda }\vec{a}\in A^{\mathbf{N}}\\ \ \ \Updownarrow\text{ (por (8) de la def de}\models\text{)}\\ \mathbf{A}\models\forall x_{i_{n-1}}\forall x_{i_{n}}(\gamma\leftrightarrow\psi)[\vec{a}]\text{, para todo }\mathbf{A}\text{ y toda }\vec{a}\in A^{\mathbf{N}}\\ \ \ \Updownarrow\\ \ \ \ \ \vdots\\ \ \ \Updownarrow\\ \mathbf{A}\models\forall x_{i_{1}}...\forall x_{i_{n}}(\gamma\leftrightarrow\psi)[\vec{a}]\text{, para todo }\mathbf{A}\text{ y toda }\vec{a}\in A^{\mathbf{N}}\\ \ \ \Updownarrow\\ \forall x_{i_{1}}...\forall x_{i_{n}}(\gamma\leftrightarrow\psi)\text{ es universalmente valida} \end{array}\]
(b) Es dejado al lector.
(c) Por induccion en el \(k\) tal que \(\alpha\in F_{k}^{\tau}\).