En el capitulo sobre estructuras algebraicas ordenadas nos focalizamos en aprender algebra con la intencion de volvernos lo mas "algebristas profecionales" que podamos. Para esto fuimos exigentes a la hora de delimitar y manejar nuestro lenguaje matematico y tambien a la hora de hacer pruebas pusimos mucha atencion en hacerlas "perfectas" en el sentido de que sean similares a las que haria un algebrista formado.
Pero para que hicimos esto? Muy simple: la logica matematica es matematica aplicada al estudio de los matematicos, su lenguaje y sus metodos de demostracion, y que mas comodo para hacer logica matematica que contar con un matematico dentro de uno mismo para estudiarlo! Tal como
adhocprefix-adhocsufix un biologo estudia la estructura y funcionamiento de los seres vivos
adhocprefix-adhocsufix un astronomo estudia los cuerpos celestes
adhocprefix-adhocsufix un fisico estudia la materia y su comportamiento
un logico matematico estudia con herramientas matematicas a los mismos matematicos en cuanto a sus caracteristicas en su roll haciendo matematica. Es decir nos interesa dar un modelo matematico que describa en forma matematica precisa el funcionamiento de un matematico en cuanto a su lenguaje y sus metodos de demostracion. Pero algo debe quedar muy claro: haremos matematica aplicada, es decir, no es nuestra intencion decirle a un matematico como debe razonar! Todo lo contrario, sabemos que los matematicos profecionales actuales razonan correctamente y que su estilo de prueba es correcto, dado el avansado estado actual de la disciplina y de sus profecionales. Simplemente los estudiaremos con herramientas matematicas para tratar de dar una descripcion matematica de su lenguaje y de sus metodos de demostracion.
Por supuesto hacer logica matematica puede ser muy dificil o escurridizo ya que como todos sabemos los matematicos tienen metodos dificiles de entender y un lenguaje verdaderamente complicado.
La forma en la que encararemos el problema sera la siguiente. En lugar de estudiar a un matematico en su actividad real crearemos un "contexto matematico simplificado" en el cual tambien tenga sentido hacer matematica profecional y luego estudiaremos a un matematico haciendo matematica en este contexto. Por supuesto esto baja mucho el nivel de nuestra ambicion cientifica como logicos matematicos ya que en lugar de estudiar a los matematicos en su vida real, los estudiaremos en un contexto simplificado. Sin envargo nuestra simplificacion no nos hara perder generalidad y los resultados obtenidos daran un modelo matematico fidedigno y completo del quehacer matematico real. Este hecho es uno de los logros mas importantes de la ciencia moderna. Cabe destacar que una ves aprendidos los contenidos de logica basicos (parte de este capitulo pero no en su totalidad), si agregamos un curso basico de teoria de conjuntos axiomatica, estaremos en condiciones de apreciar a pleno el logro intelectual que significa dar un modelo matematico pasmosamente fidedigno de la matematica misma.
Para crear este "contexto matematico simplificado" nos serviran los conceptos de lenguaje elemental y prueba elemental. Mas concretamente fijaremos un tipo de estructura, por ejemplo los reticulados cuaterna, y estudiaremos a un matematico profecional haciendo matematica en este contexto elemental. Es decir le pediremos que realice pruebas de propiedades que valgan en todos los reticulados cuaterna pero lo restringirenos en su lenguaje, es decir le pediremos que se restrinja a usar solo formulas elementales de reticulados cuaterna y que las pruebas que realice sean tambien elementales de reticulados cuaterna. El matematico rapidamente entendera la consigna y posiblemente refunfuñe un poco porque claramente lo estamos restrinjiendo mucho en relacion a su manera de hacer matematica (por ejemplo no podra hablar de filtros primos, etc). De todas maneras las posibilidades de hacer matematica profunda e interesante aun con esta restriccion son inmensas, es decir hay verdades de reticulados cuaterna que son elementales en enunciado y prueba pero son extremadamente dificiles, ingeniosas y profundas.
En este proyecto de hacer logica matematica estudiando a un matematico haciendo matematica elemental de reticulados cuaterna hay varias cosas para hacer y las establecemos a continuacion.
Programa de logica matematica sobre reticulados cuaterna
adhocprefix-adhocsufix Dar un modelo matematico del concepto de formula elemental de reticulados cuaterna
adhocprefix-adhocsufix Dar una definicion matematica de cuando una formula elemental es verdadera en un reticulado cuaterna dado, para una asignacion dada de valores a las variables libres y a los nombres de elementos fijos de dicha formula elemental
adhocprefix-adhocsufix (Plato gordo) Dar un modelo matematico del concepto de prueba elemental de reticulados cuaterna. A estos objetos matematicos que modelizaran a las pruebas elementales de los matematicos los llamaremos pruebas formales de reticulados cuaterna.
adhocprefix-adhocsufix (Sublime) Intentar probar matematicamente que nuestro concepto de prueba formal de reticulados cuaterna es una correcta modelizacion matematica del concepto intuitivo de prueba elemental de reticulados cuaterna.
Como veremos, los cuatro puntos anteriores pueden ser hechos satisfactoriamente y constituyen el comienzo de la logica matematica con cuantificadores. Cabe aclarar que la realizacion del cuarto punto es realmente sorprendente ya que es un caso de una prueba matematica rigurosa de un enunciado que involucra un concepto intuitivo como lo es el de prueba elemental.
Ya que la realizacion de los 4 puntos anteriores no depende en absoluto de que hayamos elejido el tipo de estructura de los reticulados cuaterna (es decir, el desarrollo que resuelve los 4 puntos anteriores para los reticulados cuaterna puede adaptarse facilmente para cualquiera de los otros tipos de estructuras descriptos en el capitulo Estructuras y su Lenguaje Elemental), haremos las cosas con mas generalidad.
Primero, basados en dicho capitulo, generalizaremos el concepto de estructura. La generalizacion que daremos del concepto de estructura es realmente muy amplia y nos llevara mucho trabajo de entrenamiento poder manejarla con madurez y naturalidad. Luego, estableceremos para un tipo generico de estructura el programa de logica arriba escrito para el caso particular de los reticulados cuaterna. En las subsiguientes secciones nos dedicaremos a resolver dicho programa general.