7.1 Tipos

Para generalizar el concepto de estructura es clave primero dar definiciones generales de los conceptos de operacion y de relacion sobre un conjunto.

Sea $A$ un conjunto y sea $n\in N$. Por una operacion $n$-aria sobre $A$ entenderemos una funcion cuyo dominio es $A^n$ y cuya imagen esta contenida en $A$. Por una relacion $n$-aria sobre $A$ entenderemos un subconjunto de $A^n$. Notar que por la definicion anterior una relacion 1-aria sobre $A$ no es ni mas ni menos que un subconjunto de $A$.

Como venimos viendo, hay una variedad de tipos de estructuras las cuales tienen un sentido o interes matematico claro y todas son de un formato similar, a saber uplas formadas por una primera coordenada que es un conjunto no vacio (llamado el universo de la estructura) y luego ciertas operaciones, relaciones y elementos distinguidos, dependiendo del caso. Otra cosa a notar es que para cada tipo de estructura hay ciertos simbolos fijos que usamos en forma generica para denotar sus relaciones, operaciones y elementos distinguidos. Por ejemplo:

1. - Para los posets usamos el simbolo $\le$ para denotar su relacion 2-aria de orden parcial, en un sentido generico.

2. - Para el caso de los reticulados terna usamos en forma generica los simbolos $s$ e $i$ para denotar sus operaciones 2-arias de supremo e infimo

3. - Para el caso de los reticulados acotados usamos en forma generica los simbolos $s$ e $i$ para denotar sus operaciones 2-arias de supremo e infimo y los numerales $0$ y $1$ para denotar sus elementos distinguidos, a saber minimo y maximo respectivamente.

4. - Para el caso de los reticulados complementados usamos en forma generica los simbolos $s$ e $i$ para denotar sus operaciones 2-arias de supremo e infimo, el simbolo $c$ para denotar su operacion $1$-aria de complementacion y los numerales $0$ y $1$ para denotar sus elementos distinguidos, a saber minimo y maximo respectivamente.

5. - Para el caso de los reticulados cuaterna usamos en forma generica los simbolos $s$ e $i$ para denotar sus operaciones 2-arias de supremo e infimo y el simbolo $\le$ para denotar su relacion 2-aria de orden parcial

6. - Para las median algebras usamos genericamente el simbolo $M$ para denotar su operacion $3$-aria.

7. - Para los grafos usamos el simbolo $r$ para denotar en forma generica su relacion 2-aria.

8. - Para los grafos bicoloreados usamos el simbolo $r$ para denotar en forma generica la relacion 2-aria del grafo y el simbolo $R$ para denotar genericamente la relacion 1-aria que determina el bicoloreo

O sea que para cada tipo de estructuras se distinguen tres conjuntos de simbolos:

1. - un conjunto $C$ formado por los simbolos que denotaran genericamente los elementos distinguidos de las estructuras

2. - un conjunto $F$ formado por los simbolos que denotaran genericamente las operaciones de las estructuras

3. - un conjunto $R$ formado por los simbolos que denotaran genericamente las relaciones de las estructuras

Ademas otra informacion importante que se tiene para cada tipo de estructura es la aridad de las operaciones que denotan los simbolos de $F$ y la aridad de las relaciones que denotan los simbolos de $R$. A esto lo representaremos con una funcion $a:F\cup R\to N$ la cual le asocia a cada simbolo de $F\cup R$ la aridad del objeto que denota. Ejemplos:

1. - Posets: $C=\varnothing F=\varnothing R=\{\le \}a=\left\{\right(\le ,2\left)\right\}$

2. - Reticulados terna: $C=\varnothing F=\{s,i\}R=\varnothing a=\left\{\right(s,2),(i,2\left)\right\}$

3. - Reticulados acotados: $C=\{0,1\}F=\{s,i\}R=\varnothing a=\left\{\right(s,2),(i,2\left)\right\}$

4. - Reticulados complementados: $C=\{0,1\}F=\{s,i,c\}R=\varnothing a=\left\{\right(s,2),(i,2),(c,1\left)\right\}$

5. - Reticulados cuaterna: $C=\varnothing F=\{s,i\}R=\{\le \}a=\left\{\right(s,2),(i,2),(\le ,2\left)\right\}$

6. - Median algebras: $C=\varnothing F=\left\{M\right\}R=\varnothing a=\left\{\right(M,3\left)\right\}$

7. - Grafos: $C=\varnothing F=\varnothing R=\left\{r\right\}a=\left\{\right(r,2\left)\right\}$

8. - Grafos bicoloreados: $C=\varnothing F=\varnothing R=\{r,R\}a=\left\{\right(r,2),(R,1\left)\right\}$

Por supuesto aqui es muy importante no confundir los simbolos con las operaciones que eventualmente ellos denotan. O sea en todos los ejemplos anteriores los elementos de $C$, $F$ y $R$ son simbolos, es decir su $Ti$ es PALABRA.

Lo anterior motiva la siguiente definicion de tipo (de estructura). Antes de darla recordemos que si $\alpha ,\beta$ son palabras cualesquiera, decimos que $\alpha$ es subpalabra (propia) de $\beta$ cuando ($\alpha \notin \{\epsilon ,\beta \}$ y) existen palabras $\delta ,\gamma$ tales que $\beta =\delta \alpha \gamma$.

Ahora si, nuestra definicion de tipo: Por un tipo (de primer orden) entenderemos una 4-upla $\tau =(C,F,R,a)$ tal que:

1. (1) Hay alfabetos finitos ${\Sigma }_1$, ${\Sigma }_2$ y ${\Sigma }_3$ tales:

   1. $C\subseteq {\Sigma }_1^{+}$, $F\subseteq {\Sigma }_2^{+}$ y $R\subseteq {\Sigma }_3^{+}$

   2. ${\Sigma }_1$, ${\Sigma }_2$ y ${\Sigma }_3$ son disjuntos de a pares.

   3. ${\Sigma }_1\cup {\Sigma }_2\cup {\Sigma }_3$ no contiene ningun simbolo de la lista

      $\forall \exists \neg \vee \wedge \to \leftrightarrow \left(\right),\equiv X01...901...9$

2. (2) $a:F\cup R\to N$ es una funcion que a cada $p\in F\cup R$ le asocia un numero natural $a\left(p\right)$, llamado la aridad de $p$.

3. (3) Ninguna palabra de $C$ (resp. $F$, $R$) es subpalabra propia de otra palabra de $C$ (resp. $F$, $R$).

Notese que los elementos de $C$, $F$ y $R$ pueden ser palabras y no solo simbolos como en los casos de los tipos de estructuras conocidas. Mas adelante cuando definamos las formulas de tipo $\tau$ se entenderan las restricciones puestas en (c) de (1) y en (3).

A los elementos de $C$ (resp. $F$, $R$) los llamaremos nombres de constante (resp. nombres de funcion, nombres de relacion) de tipo $\tau$. Para cada $n\in N$, definamos $$\begin{array}{cc}{F}_n& =\{f\in F:a(f)=n\}\\ R_n& =\{r\in R:a(r)=n\}\end{array}$$ Al tipo $(\varnothing ,\varnothing ,\{\le \},\{(\le ,2)\left\}\right)$ lo llamaremos el tipo de los posets. Al tipo $(\varnothing ,\{s,i\},\varnothing ,\{(s,2),(i,2)\left\}\right)$ lo llamaremos el tipo de los reticulados terna. Al tipo $$\left(\right\{0,1\},\{s,i\},\varnothing ,\{(s,2),(i,2)\left\}\right)$$ lo llamaremos el tipo de los reticulados acotados. Al tipo $$\left(\right\{0,1\},\{s,i,c\},\varnothing ,\{(s,2),(i,2),(c,1)\left\}\right)$$ lo llamaremos el tipo de los reticulados complementados. Al tipo $$(\varnothing ,\{s,i\},\{\le \},\{(s,2),(i,2),(\le ,2)\left\}\right)$$ lo llamaremos el tipo de los reticulados cuaterna. Al tipo $(\varnothing ,\{M\},\varnothing ,\{(M,3)\left\}\right)$ lo llamaremos el tipo de las median algebras. Al tipo $(\varnothing ,\varnothing ,\{r\},\{(r,2)\left\}\right)$ lo llamaremos el tipo de los grafos. Al tipo $$(\varnothing ,\varnothing ,\{r,R\},\{(r,2),(R,1)\left\}\right)$$ lo llamaremos el tipo de los grafos bicoloreados.

Algunos ejemplos de tipos:

1. (E1) $\left(\right\{uno,doli\},\{MAS,P\},\{Her\},a)$, con $a$ dado por $a\left(MAS\right)=4$, $a\left(P\right)=1$ y $a\left(Her\right)=3$.

2. (E2) $\left(\right\{0,1\},\{+,\times \},\varnothing ,a)$, con $a$ dado por $a(+)=2$ y $a(\times )=2$.

3. (E3) $\left(\right\{\square \},\{♣♣,Pic\},\{⊳,\parallel \},a)$, con $a$ dado por $a\left(♣♣\right)=6$, $a\left(Pic\right)=1$, $a(⊳)=4$ y $a(\parallel )=1$

4. (E4) $\left(\right\{dod,dood,doood,...\},\{Fu\},\{He\},a)$, con $a$ dado por $a\left(Fu\right)=1$ y $a\left(He\right)=3$. Notese que este tipo tiene infinitos nombres de constante.

Observacion: No deberiamos confundir el concepto de tipo aqui desarrollado, que esencialmente representa un “tipo de estructuras”, con el “tipo de objeto matematico” dado por la funcion $Ti$. Esta funcion asigna a cada objeto matematico una palabra que describe que tipo de objeto matematico es dentro de un menu bien definido de tipos de objetos matematicos.