5.6 Algebras de Boole

Un reticulado terna $(L,s,i)$ se llamara distributivo cuando cumpla la siguiente identidad

1. Dis${}_1$ $xi\left(ysz\right)=\left(xiy\right)s\left(xiz\right)$, cualesquiera sean $x,y,z\in L$

Diremos que un reticulado acotado $(L,s,i,0,1)$ (resp. complementado $(L,s,i{,}^c,0,1)$) es distributivo cuando $(L,s,i)$ lo sea. Consideremos la distributividad dual a Dis${}_1$, es decir

1. Dis${}_2$ $xs\left(yiz\right)=\left(xsy\right)i\left(xsz\right)$, cualesquiera sean $x,y,z\in L$

Proof. Supongamos $(L,s,i)$ satisface Dis${}_1$. Sean $a,b,c\in L$ elementos fijos. Por Dis${}_1$ tenemos que $$\left(asb\right)i\left(asc\right)=\left(\right(asb\left)ia\right)s\left(\right(asb\left)ic\right)$$ Pero por conmutatividad tenemos que $$\left(\right(asb\left)ia\right)s\left(\right(asb\left)ic\right)=\left(ai\right(asb\left)\right)s\left(ci\right(asb\left)\right)$$ Por (I7) tenemos que $ai\left(asb\right)=a$ y por $Di{s}_1$ tenemos que $ci\left(asb\right)=\left(cia\right)s\left(cib\right)$ por lo cual $$\left(ai\right(asb\left)\right)s\left(ci\right(asb\left)\right)=as\left(\right(cia\left)s\right(cib\left)\right)$$ Por asociatividad tenemos que $$as\left(\right(cia\left)s\right(cib\left)\right)=\left(as\right(cia\left)\right)s\left(cib\right)$$ Pero por conmutatividad tenemos que $$\left(as\right(cia\left)\right)s\left(cib\right)=\left(as\right(aic\left)\right)s\left(bic\right)$$ Lo cual por (I6) nos dice que $$\left(as\right(aic\left)\right)s\left(bic\right)=as\left(bic\right)$$ Por transitividad de la igualdad, las igualdades anteriores nos dicen que $$as\left(bic\right)=\left(asb\right)i\left(asc\right)$$ Pero $a,b,c$ eran elementos arbitrarios por lo que hemos probado que vale $Di{s}_2$.  

1. Ejercicio: Use la prueba del lema anterior para hacer un algoritmo el cual tome de entrada un reticulado acotado $(L,s,i,0,1)$ y elementos $x,y,z\in L$ tales que $y\ne z$ son complementos de $x$, y de como salida elementos $a,b,c$ tales que $ai\left(bsc\right)\ne \left(aib\right)s\left(aic\right)$

Por un Algebra de Boole entenderemos un reticulado complementado que es distributivo. Algunos ejemplos:

1. E1 Dado un conjunto no vacio $X$, la $6$-upla $(X,\cup ,\cap {,}^c,\varnothing ,X)$ es un algebra de Boole

Para probar algunas propiedades fundamentales de un algebra de Boole necesitaremos el siguiente

Proof. Sean $a,b,c\in L$ elementos fijos. Supongamos que $$\begin{array}{cc}asb& =asc=1\\ aib& =aic=0\end{array}$$ (es decir $b$ y $c$ son ambos complementos de $a$). Veremos que entonces $b=c$. Notese que $$b=bi1=bi\left(asc\right)=\left(bia\right)s\left(bic\right)=0s\left(bic\right)=bic$$ por lo cual $b\le c$. Analogamente se puede probar que $c\le b$ por lo cual $b=c$. Ya que $a,b,c$ eran elementos cualesquiera de $L$, hemos probado el lema.  

Una propiedad muy importante que se da en las algebras de Boole es

Proof. Sean $a,b\in B$, fijos. Se tiene que $$b=bi1=bi\left(as{a}^c\right)=\left(bia\right)s\left(bi{a}^c\right)$$ Ya que $a$ y $b$ eran elementos cualesquiera de $B$, hemos probado el lema.  

Proof. (1) Es facil ver que $a^{c}s{b}^c$ es un complemento de $aib$ (hacer!). Pero ya que $(L,s,i{,}^c,0,1)$ es un reticulado complementado, tenemos que $(aib{)}^c$ es un complemento de $aib$. El Lema 5.25 nos dice que $(aib{)}^c$ y $a^{c}s{b}^c$ deben ser iguales.

(2) y (3) se prueban en forma similar (hacer!)

(4) Supongamos $aib=0$. Se tiene $$\begin{array}{cc}b& =\left(bia\right)s\left(bi{a}^c\right)\\ & =\left(aib\right)s\left(bi{a}^c\right)\\ & =0s\left(bi{a}^c\right)\\ & =\left(bi{a}^c\right)\end{array}$$ lo cual dice que $b\le a^c$. Supongamos $b\le a^c$. Entonces $aib\le ai{a}^c=0$ por lo cual $aib=0$.

(5) Supongamos $a\le b$. Entonces $aib=a$, lo cual por (1) nos dice que $a^{c}s{b}^c=a^c$ obteniendo que $b^c\le a^c$. La resiproca es dejada al lector (hint: use (3))