5.5 Reticulados complementados

Sea $(L,s,i,0,1)$ un reticulado acotado. Dado $a\in L$, diremos que $a$ es complementado cuando exista un elemento $b\in L$ (llamado complemento de a) tal que: $$\begin{array}{cc}asb& =1\\ aib& =0\end{array}$$ Notese que dicho elemento $b$ puede no ser unico, es decir $a$ puede tener varios complementos. Recordemos que una operacion unaria sobre un conjunto $L$ es por definicion una funcion de $L$ en $L$. Muchas veces si $s$ denota una operacion unaria, entonces escribiremos $x^s$ en lugar de $s\left(x\right)$. Por un reticulado complementado entederemos una $6$-upla $(L,s,i{,}^c,0,1)$ tal que $(L,s,i,0,1)$ es un reticulado acotado y ${}^c$ es una operacion unaria sobre $L$ tal que

1. (I10) $xs{x}^c=1$, para cada $x\in L$

2. (I11) $xi{x}^c=0$, para cada $x\in L$

Dado un reticulado acotado $(L,s,i,0,1)$ puede haber mas de una operacion unaria $g$ tal que $(L,s,i,g,0,1)$ resulte un reticulado complementado. Intente dar un ejemplo en el cual $L$ tenga 5 elementos.

Reflexion Informatica

Notese que si tenemos un reticulado par $(L,\le )$ en el cual hay un maximo $1$ y un minimo $0$ y ademas tenemos una funcion $g:L\to L$ tal que $$\begin{array}{cc}sup\{x,g(x\left)\right\}& =1\\ inf\{x,g(x\left)\right\}& =0\end{array}$$ para cada $x\in L$, entonces podemos definir $$\begin{array}{ccc}s:L^2& \to & L\\ (a,b)& \to & sup\left(\right\{a,b\left\}\right)\end{array}\begin{array}{ccc}i:L^2& \to & L\\ (a,b)& \to & inf\left(\right\{a,b\left\}\right)\end{array}$$ y se obtiene que $(L,s,i,g,0,1)$ es un reticulado complementado. Ademas todo reticulado complementado se obtiene de esta forma (por que?). O sea que a nivel de informacion, tener un reticulado par con $0$ y $1$ junto con una operacion unaria que da complementos, es exactamente lo mismo que tener un reticulado complementado.

El orden asociado a un reticulado complementado

Dado un reticulado complementado $(L,s,i{,}^c,0,1)$, llamaremos a $\le =\left\{\right(x,y):xsy=y\}$ el orden parcial asociado a $(L,s,i{,}^c,0,1)$ y $(L\le )$ sera llamado el poset asociado a $(L,s,i{,}^c,0,1)$. Notese que tambien tenemos que $\le =\left\{\right(x,y):xiy=x\}$ (¿por que?).

Convencion notacional

Muchos conceptos definidos para posets, reticulados terna o reticulados acotados, pueden aplicarse cuando tenemos un reticulado complementado $(L,s,i{,}^c,0,1)$. Por ejemplo, si decimos que en $(L,s,i{,}^c,0,1)$ el elemento $a$ es cubierto por $b$, esto significara que en el poset $(L,\le )$ el elemento $a$ es cubierto por $b$. Si decimos que en $(L,s,i{,}^c,0,1)$ se da que el supremo de un conjunto $S$ es $a$, nos estaremos refiriendo a que en su poset asociado $(L,\le )$ se da que el supremo de $S$ es $a$. Si decimos que $(L,s,i{,}^c,0,1)$ es distributivo nos estaremos refiriendo a que $(L,s,i)$ lo es. Si decimos que en $(L,s,i{,}^c,0,1)$ el elemento $a$ es un complemento del elemento $b$, nos estaremos refiriendo a que esto sucede en $(L,s,i,0,1)$. Aqui es importante notar que por el hecho de saber que $a$ sea un complemento de $b$ en $(L,s,i{,}^c,0,1)$ no podemos inferir que $a=b^c$.

5.5.1 Subreticulados complementados

Dados reticulados complementados $(L,s,i{,}^c,0,1)$ y $(L^{\prime },s^{\prime },i^{\prime }{,}^{c^{\prime }},0^{\prime },1^{\prime })$ diremos que $(L,s,i{,}^c,0,1)$ es un subreticulado complementado de $(L^{\prime },s^{\prime },i^{\prime }{,}^{c^{\prime }},0^{\prime },1^{\prime })$ si se dan las siguientes condiciones

1. (1) $L\subseteq L^{\prime }$

2. (2) $L$ es cerrado bajo las operaciones $s^{\prime }$, $i^{\prime }$ y ${}^{c^{\prime }}$

3. (3) $0=0^{\prime }$ y $1=1^{\prime }$

4. (4) $s=s^{\prime }$$|$${}_{L\times L}$, $i=i^{\prime }$$|$${}_{L\times L}$ y ${}^c={}^{c^{\prime }}$$|$${}_L$

Sea $(L,s,i{,}^c,0,1)$ un reticulado complementado. Un conjunto $S\subseteq L$ es llamado subuniverso de $(L,s,i{,}^c,0,1)$ si $0,1\in S$ y ademas $S$ es cerrado bajo las operaciones $s$, $i$ y ${}^c$. Es importante notar que si bien los conceptos de subreticulado complementado y subuniverso estan muy relacionados, se trata de conceptos diferentes ya que los subreticulados complementados de $(L,s,i{,}^c,0,1)$ son reticulados complementados, es decir $6$-uplas y los subuniversos de $(L,s,i{,}^c,0,1)$ son conjuntos, por lo cual no son $6$-uplas.

Es facil de chequear que si $S$ es un subuniverso de $(L,s,i{,}^c,0,1)$, entonces $(S,s{\mid }_{S\times S},i{\mid }_{S\times S},{,}^c{\mid }_S,0,1)$ es un subreticulado complementado de $(L,s,i{,}^c,0,1)$ y que todo subreticulado complementado de $(L,s,i{,}^c,0,1)$ se obtiene en esta forma. Es decir, hay una biyeccion entre el conjunto de los subreticulados complementados de $(L,s,i{,}^c,0,1)$ y el conjunto de los subuniversos de $(L,s,i{,}^c,0,1)$ (cual es?). Dicho de manera mas rapida: los subuniversos de $(L,s,i{,}^c,0,1)$ son ni mas ni menos que los universos de los subreticulados complementados de $(L,s,i{,}^c,0,1)$.

5.5.2 Homomorfismos de reticulados complementados

Sean $(L,s,i{,}^c,0,1)$ y $(L^{\prime },s^{\prime },i^{\prime }{,}^{c^{\prime }},0^{\prime },1^{\prime })$ reticulados complementados. Una funcion $F:L\to L^{\prime }$ sera llamada un homomorfismo de $(L,s,i{,}^c,0,1)$ en $(L^{\prime },s^{\prime },i^{\prime }{,}^{c^{\prime }},0^{\prime },1^{\prime })$ si para todo $x,y\in L$ se cumple que $$\begin{array}{cc}F\left(xsy\right)& =F\left(x\right)s^{\prime }F\left(y\right)\\ F\left(xiy\right)& =F\left(x\right)i^{\prime }F\left(y\right)\\ F\left(x^c\right)& =F(x{)}^{c^{\prime }}\\ F\left(0\right)& =0^{\prime }\\ F\left(1\right)& =1^{\prime }\end{array}$$ Un homomorfismo de $(L,s,i{,}^c,0,1)$ en $(L^{\prime },s^{\prime },i^{\prime }{,}^{c^{\prime }},0^{\prime },1^{\prime })$ sera llamado isomorfismo cuando sea biyectivo y su inversa sea un homomorfismo. Como es usual usaremos el simbolo $\cong$ para denotar la relacion de isomorfismo. Escribiremos "Sea $F:(L,s,i{,}^c,0,1)\to (L^{\prime },s^{\prime },i^{\prime }{,}^{c^{\prime }},0^{\prime },1^{\prime })$ un homomorfismo" para expresar que $F$ es un homomorfismo de $(L,s,i{,}^c,0,1)$ en $(L^{\prime },s^{\prime },i^{\prime }{,}^{c^{\prime }},0^{\prime },1^{\prime })$. No hay que confundirse al leer esta notacion y pensar que $F$ es una funcion cuyo dominio es $(L,s,i{,}^c,0,1)$, lo cual por otra parte no tiene sentido ya que el dominio de una funcion nunca puede ser una $6$-upla!

Proof. Es dejada al lector.  

Proof. Es dejada al lector.  

5.5.3 Congruencias de reticulados complementados

Sea $(L,s,i{,}^c,0,1)$ un reticulado complementado. Una congruencia sobre $(L,s,i{,}^c,0,1)$ sera una relacion de equivalencia sobre $L$ la cual cumpla:

1. (1) $\theta$ es una congruencia sobre $(L,s,i,0,1)$

2. (2) $x/\theta =y/\theta$ implica $x^c/\theta =y^c/\theta$

Las condiciones anteriores nos permiten definir sobre $L/\theta$ dos operaciones binarias $\tilde{s}$ e $\tilde{ı}$, y una operacion unaria ${}^{\tilde{c}}$ de la siguiente manera: $$\begin{array}{cc}x/\theta \tilde{s}y/\theta & =\left(xsy\right)/\theta \\ x/\theta \tilde{ı}y/\theta & =\left(xiy\right)/\theta \\ (x/\theta {)}^{\tilde{c}}& =x^c/\theta \end{array}$$ La $6$-upla $(L/\theta ,\tilde{s},\tilde{ı}{,}^{\tilde{c}},0/\theta ,1/\theta )$ es llamada el cociente de $(L,s,i{,}^c,0,1)$ sobre $\theta$ y la denotaremos con $(L,s,i{,}^c,0,1)/\theta$. Tal como era de esperar tenemos entonces

Proof. (a) Por un lema anterior ya sabemos que $(L/\theta ,\tilde{s},\tilde{ı},0/\theta ,1/\theta )$ es un reticulado acotado. Es decir que solo nos falta ver que $(L/\theta ,\tilde{s},\tilde{ı}{,}^{\tilde{c}},0/\theta ,1/\theta )$ sarisface las identidades (I10) y (I11). Veamos por ejemplo que satisface la (I10). Sea $x/\theta$ un elemento cualquiera de $L/\theta$. Ya que $(L,s,i{,}^c,0,1)$ satisface la (I10), tenemos que $xs{x}^c=1$. O sea que $\left(xs{x}^c\right)/\theta =1/\theta$ y por lo tanto $x/\theta \tilde{s}{x}^c/\theta =1/\theta$. Pero por definicion de ${}^{\tilde{c}}$ tenemos que $(x/\theta {)}^{\tilde{c}}=x^c/\theta$, lo cual nos dice que $x/\theta \tilde{s}(x/\theta {)}^{\tilde{c}}=1/\theta$. Dejamos al lector ver que $(L/\theta ,\tilde{s},\tilde{ı}{,}^{\tilde{c}},0/\theta ,1/\theta )$ sarisface la identidad (I11)

(b) Por el Lema 5.18 tenemos que ${\pi }_{\theta }$ es un homomorfismo de $(L,s,i,0,1)$ en $(L/\theta ,\tilde{s},\tilde{ı},0/\theta ,1/\theta )$ cuyo nucleo es $\theta$. Notese que por definicion de ${}^{\tilde{c}}$ tenemos que $x^c/\theta =(x/\theta {)}^{\tilde{c}}$, es decir ${\pi }_{\theta }\left(x^c\right)=\left({\pi }_{\theta }\right(x){)}^{\tilde{c}}$, cualquiera sea $x\in L$  

Proof. Ya que $F$ es un homomorfismo de $(L,s,i,0,1)$ en $(L^{\prime },s^{\prime },i^{\prime },0^{\prime },1^{\prime })$ tenemos que por un lema anterior $\ker F$ es una congruencia sobre $(L,s,i,0,1)$. Es decir que solo falta probar que para todos $x,y\in L$, se tiene que $x/\ker F=y/\ker F$ implica $x^c/\ker F=y^c/\ker F$, lo cual es dejado al lector