Por un reticulado acotado entenderemos una \(5\)-upla \((L,\mathsf{s},\mathsf{i},0,1)\), tal que \((L,\mathsf{s},\mathsf{i})\) es un reticulado terna, \(0,1\in L\), y ademas se cumplen las siguientes identidades
adhocprefix(I8)adhocsufix \(0\mathsf{\;s\;}x=x\), para cada \(x\in L\)
adhocprefix(I9)adhocsufix \(x\mathsf{\;s\;}1=1\), para cada \(x\in L\).
Por ejemplo \((\{4,56,449\},\max,\min,4,449)\) es un reticulado acotado pero es facil ver que \((\{4,56,449\},\max,\min,449,56)\) no lo es.
Por supuesto, en virtud de lo desarrollado en la subseccion sobrevreticulados par, se tiene que si \((L,\leq)\) es reticulado par en el cual hay un maximo \(1\) y un minimo \(0\), entonces si tomamos: \[\begin{array}{rcl} \mathsf{s}:L^{2} & \rightarrow & L\\ (a,b) & \rightarrow & \sup(\{a,b\}) \end{array}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \begin{array}{rcl} \mathsf{i}:L^{2} & \rightarrow & L\\ (a,b) & \rightarrow & \inf(\{a,b\}) \end{array}\] tenemos que \((L,\mathsf{s},\mathsf{i},0,1)\) es un reticulado acotado. Veamos que todo reticulado acotado se obtiene de esta forma. Supongamos \((L,\mathsf{s},\mathsf{i},0,1)\) es un reticulado acotado. Ya que por definicion tenemos que entonces \((L,\mathsf{s},\mathsf{i})\) es un reticulado terna, el teorema de Dedekind nos dice que el orden parcial \(\mathrm{\leq}=\{(x,y):x\;\mathsf{s}\;y=y\}\) hace de \((L,\leq)\) un reticulado par en el cual \[\begin{aligned} \sup(\{x,y\}) & =x\;\mathsf{s}\;y\\ \inf(\{x,y\}) & =x\mathsf{\;i\;}y \end{aligned}\] cualesquiera sean \(x,y\in L\). Ademas las propiedades (I8) y (I9) nos garantizan que \(0\) y \(1\) son maximo y minimo de \((L,\leq)\). O sea que a nivel de informacion, un reticulado par que tiene \(0\) y \(1\) es exactamente lo mismo que un reticulado acotado. O, dicho de otra forma, hay una biyeccion entre el conjunto de los reticulados pares con \(0\) y \(1\) y el conjunto de los reticulados acotados.
Dado un reticulado acotado \((L,\mathsf{s},\mathsf{i},0,1)\), llamaremos a \(\mathrm{\leq}=\{(x,y):x\;\mathsf{s}\;y=y\}\) el orden parcial asociado a \((L,\mathsf{s},\mathsf{i},0,1)\) y \((L\leq)\) sera llamado el poset asociado a \((L,\mathsf{s},\mathsf{i},0,1)\). Notese que tambien tenemos que \(\mathrm{\leq}=\{(x,y):x\;\mathsf{i}\;y=x\}\) (¿por que?).
Muchos conceptos definidos para posets o reticulados terna pueden aplicarse cuando tenemos un reticulado acotado \((L,\mathsf{s},\mathsf{i},0,1)\). Por ejemplo, si decimos que \((L,\mathsf{s},\mathsf{i},0,1)\) es totalmente ordenado, esto significara que el poset \((L,\leq)\) lo es. Si decimos que en \((L,\mathsf{s},\mathsf{i},0,1)\) se da que el supremo de un conjunto \(S\) es \(a\), nos estaremos refiriendo a que en su poset asociado \((L,\leq)\) se da que el supremo de \(S\) es \(a\). Si decimos que \((L,\mathsf{s},\mathsf{i},0,1)\) es distributivo nos estaremos refiriendo a que \((L,\mathsf{s},\mathsf{i})\) lo es. Etc.
Dados reticulados acotados \((L,\mathsf{s},\mathsf{i},0,1)\) y \((L^{\prime},\mathsf{s}^{\prime},\mathsf{i}^{\prime},0^{\prime},1^{\prime})\) diremos que \((L,\mathsf{s},\mathsf{i},0,1)\) es un subreticulado acotado de \((L^{\prime},\mathsf{s}^{\prime},\mathsf{i}^{\prime},0^{\prime},1^{\prime})\) si se dan las siguientes condiciones
adhocprefix(1)adhocsufix \(L\subseteq L^{\prime}\)
adhocprefix(2)adhocsufix \(L\) es cerrado bajo las operaciones \(\mathsf{s}^{\prime}\) e \(\mathsf{i}^{\prime}\)
adhocprefix(3)adhocsufix \(0=0^{\prime}\) y \(1=1^{\prime}\)
adhocprefix(4)adhocsufix \(\mathsf{s}=\mathsf{s}^{\prime}\)\(|\)\(_{L\times L}\) y \(\mathsf{i}=\mathsf{i}^{\prime}\)\(|\)\(_{L\times L}\)
Sea \((L,\mathsf{s},\mathsf{i},0,1)\) un reticulado acotado. Un conjunto \(S\subseteq L\) es llamado subuniverso de \((L,\mathsf{s},\mathsf{i},0,1)\) si \(0,1\in S\) y ademas \(S\) es cerrado bajo las operaciones \(\mathsf{s}\) e \(\mathsf{i}\). Es importante notar que si bien los conceptos de subreticulado acotado y subuniverso estan muy relacionados, se trata de conceptos diferentes ya que los subreticulados acotados de \((L,\mathsf{s},\mathsf{i},0,1)\) son reticulados acotados, es decir \(5\)-uplas y los subuniversos de \((L,\mathsf{s},\mathsf{i},0,1)\) son conjuntos, por lo cual no son \(5\)-uplas.
Es facil de chequear que si \(S\) es un subuniverso de \((L,\mathsf{s},\mathsf{i},0,1)\), entonces \((S,\mathsf{s}\mathrm{\mid}_{S\times S},\mathsf{i}\mathrm{\mid}_{S\times S},0,1)\) es un subreticulado acotado de \((L,\mathsf{s},\mathsf{i},0,1)\) y que todo subreticulado acotado de \((L,\mathsf{s},\mathsf{i},0,1)\) se obtiene en esta forma. Es decir, hay una biyeccion entre el conjunto de los subreticulados acotados de \((L,\mathsf{s},\mathsf{i},0,1)\) y el conjunto de los subuniversos de \((L,\mathsf{s},\mathsf{i},0,1)\) (cual es?). Dicho de manera mas rapida: los subuniversos de \((L,\mathsf{s},\mathsf{i},0,1)\) son ni mas ni menos que los universos de los subreticulados acotados de \((L,\mathsf{s},\mathsf{i},0,1)\).
Sean \((L,\mathsf{s},\mathsf{i},0,1)\) y \((L^{\prime},\mathsf{s}^{\prime},\mathsf{i}^{\prime},0^{\prime},1^{\prime})\) reticulados acotados. Una funcion \(F:L\rightarrow L^{\prime}\) sera llamada un homomorfismo de \((L,\mathsf{s},\mathsf{i},0,1)\) en \((L^{\prime},\mathsf{s}^{\prime},\mathsf{i}^{\prime},0^{\prime},1^{\prime})\) si para todo \(x,y\in L\) se cumple que \[\begin{aligned} F(x\mathsf{\;s\;}y) & =F(x)\;\mathsf{s}^{\prime}\ F(y)\\ F(x\mathsf{\;i\;}y) & =F(x)\;\mathsf{i}^{\prime}\ F(y)\\ F(0) & =0^{\prime}\\ F(1) & =1^{\prime} \end{aligned}\] Un homomorfismo de \((L,\mathsf{s},\mathsf{i},0,1)\) en \((L^{\prime},\mathsf{s}^{\prime},\mathsf{i}^{\prime},0^{\prime},1^{\prime})\) sera llamado isomorfismo cuando sea biyectivo y su inversa sea tambien un homomorfismo. Escribiremos \((L,\mathsf{s},\mathsf{i},0,1)\cong(L^{\prime},\mathsf{s}^{\prime},\mathsf{i}^{\prime},0^{\prime},1^{\prime})\) cuando exista un isomorfismo de \((L,\mathsf{s},\mathsf{i},0,1)\) en \((L^{\prime},\mathsf{s}^{\prime},\mathsf{i}^{\prime},0^{\prime},1^{\prime})\). Escribiremos "Sea \(F:(L,\mathsf{s},\mathsf{i},0,1)\rightarrow(L^{\prime},\mathsf{s}^{\prime},\mathsf{i}^{\prime},0^{\prime},1^{\prime})\) un homomorfismo" para expresar que \(F\) es un homomorfismo de \((L,\mathsf{s},\mathsf{i},0,1)\) en \((L^{\prime},\mathsf{s}^{\prime},\mathsf{i}^{\prime},0^{\prime},1^{\prime})\). No hay que confundirse al leer esta notacion y pensar que \(F\) es una funcion cuyo dominio es \((L,\mathsf{s},\mathsf{i},0,1)\), lo cual por otra parte no tiene sentido ya que el dominio de una funcion nunca puede ser una \(5\)-upla!
5.16. Si \(F:(L,\mathsf{s},\mathsf{i},0,1)\rightarrow(L^{\prime},\mathsf{s}^{\prime},\mathsf{i}^{\prime},0^{\prime},1^{\prime})\) un homomorfismo biyectivo, entonces \(F\) es un isomorfismo
Proof. Similar a la prueba del Lemma 5.9.
5.17. Si \(F:(L,\mathsf{s},\mathsf{i},0,1)\rightarrow(L^{\prime},\mathsf{s}^{\prime},\mathsf{i}^{\prime},0^{\prime},1^{\prime})\) es un homomorfismo, entonces \(I_{F}\) es un subuniverso de \((L^{\prime},\mathsf{s}^{\prime},\mathsf{i}^{\prime},0^{\prime},1^{\prime})\). Es decir que \(F\) es tambien un homomorfismo de \((L,\mathsf{s},\mathsf{i},0,1)\) en \((I_{F},\mathsf{s}^{\prime}\)\(|\)\(_{I_{F}\times I_{F}},\mathsf{i}^{\prime}\)\(|\)\(_{I_{F}\times I_{F}},0^{\prime},1^{\prime})\)
Proof. Ya que \(F\) es un homomorfismo de \((L,\mathsf{s},\mathsf{i})\) en \((L^{\prime},\mathsf{s}^{\prime},\mathsf{i}^{\prime})\) tenemos que \(I_{F}\) es subuniverso de \((L^{\prime},\mathsf{s}^{\prime},\mathsf{i}^{\prime})\) lo cual ya que \(0^{\prime},1^{\prime}\in I_{F}\) implica que \(I_{F}\) es un subuniverso de \((L^{\prime},\mathsf{s}^{\prime},\mathsf{i}^{\prime},0^{\prime},1^{\prime})\).
Sea \((L,\mathsf{s},\mathsf{i},0,1)\) un reticulado acotado. Una congruencia sobre \((L,\mathsf{s},\mathsf{i},0,1)\) sera una relacion de equivalencia \(\theta\) la cual sea una congruencia sobre \((L,\mathsf{s},\mathsf{i})\). Tenemos definidas sobre \(L/\theta\) dos operaciones binarias \(\mathsf{\tilde{s}}\) e \(\mathsf{\tilde{\imath}}\), de la siguiente manera: \[\begin{aligned} x/\theta\mathsf{\tilde{s}}y/\theta & =(x\mathsf{\;s\;}y)/\theta\\ x/\theta\mathsf{\tilde{\imath}}y/\theta & =(x\mathsf{\;i\;}y)/\theta \end{aligned}\] La \(5\)-upla \((L/\theta,\mathsf{\tilde{s}},\mathsf{\tilde{\imath}},0/\theta,1/\theta)\) es llamada el cociente de \((L,\mathsf{s},\mathsf{i},0,1)\) sobre \(\theta\) y la denotaremos con \((L,\mathsf{s},\mathsf{i},0,1)/\theta\).
5.18. Sea \((L,\mathsf{s},\mathsf{i},0,1)\) un reticulado acotado y \(\theta\) una congruencia sobre \((L,\mathsf{s},\mathsf{i},0,1)\).
adhocprefix(a)adhocsufix \((L/\theta,\mathsf{\tilde{s}},\mathsf{\tilde{\imath}},0/\theta,1/\theta)\) es un reticulado acotado.
adhocprefix(b)adhocsufix \(\pi_{\theta}\) es un homomorfismo de \((L,\mathsf{s},\mathsf{i},0,1)\) en \((L/\theta,\mathsf{\tilde{s}},\mathsf{\tilde{\imath}},0/\theta,1/\theta)\) cuyo nucleo es \(\theta\).
Proof. (a) Es facil ver que \((L/\theta,\mathsf{\tilde{s}},\mathsf{\tilde{\imath}},0/\theta,1/\theta)\) cumple (I1), (I2),...,(I9) dado que \((L,\mathsf{s},\mathsf{i},0,1)\) las cumple.
(b) Sigue directamente del Lema 5.15
5.19. Si \(F:(L,\mathsf{s},\mathsf{i},0,1)\rightarrow(L^{\prime},\mathsf{s}^{\prime},\mathsf{i}^{\prime},0^{\prime},1^{\prime})\) es un homomorfismo de reticulados acotados, entonces \(\ker F\) es una congruencia sobre \((L,\mathsf{s},\mathsf{i},0,1)\).
Proof. Ya que \(F\) es un homomorfismo de \((L,\mathsf{s},\mathsf{i})\ \)en \((L^{\prime},\mathsf{s}^{\prime},\mathsf{i}^{\prime})\) tenemos que por un lema anterior \(\ker F\) es una congruencia sobre \((L,\mathsf{s},\mathsf{i})\) lo cual por definicion nos dice que \(\ker F\) es una congruencia sobre \((L,\mathsf{s},\mathsf{i},0,1)\).