5.4 Reticulados acotados

Por un reticulado acotado entenderemos una $5$-upla $(L,s,i,0,1)$, tal que $(L,s,i)$ es un reticulado terna, $0,1\in L$, y ademas se cumplen las siguientes identidades

1. (I8) $0sx=x$, para cada $x\in L$

2. (I9) $xs1=1$, para cada $x\in L$.

Por ejemplo $\left(\right\{4,56,449\},max,min,4,449)$ es un reticulado acotado pero es facil ver que $\left(\right\{4,56,449\},max,min,449,56)$ no lo es.

Reflexion Informatica

Por supuesto, en virtud de lo desarrollado en la subseccion sobre reticulados par, se tiene que si $(L,\le )$ es reticulado par en el cual hay un maximo $1$ y un minimo $0$, entonces si tomamos: $$\begin{array}{ccc}s:L^2& \to & L\\ (a,b)& \to & sup\left(\right\{a,b\left\}\right)\end{array}\begin{array}{ccc}i:L^2& \to & L\\ (a,b)& \to & inf\left(\right\{a,b\left\}\right)\end{array}$$ tenemos que $(L,s,i,0,1)$ es un reticulado acotado. Veamos que todo reticulado acotado se obtiene de esta forma. Supongamos $(L,s,i,0,1)$ es un reticulado acotado. Ya que por definicion tenemos que entonces $(L,s,i)$ es un reticulado terna, el teorema de Dedekind nos dice que el orden parcial $\le =\left\{\right(x,y):xsy=y\}$ hace de $(L,\le )$ un reticulado par en el cual $$\begin{array}{cc}sup\left(\right\{x,y\left\}\right)& =xsy\\ inf\left(\right\{x,y\left\}\right)& =xiy\end{array}$$ cualesquiera sean $x,y\in L$. Ademas las propiedades (I8) y (I9) nos garantizan que $0$ y $1$ son maximo y minimo de $(L,\le )$. O sea que a nivel de informacion, un reticulado par que tiene $0$ y $1$ es exactamente lo mismo que un reticulado acotado. O, dicho de otra forma, hay una biyeccion entre el conjunto de los reticulados pares con $0$ y $1$ y el conjunto de los reticulados acotados.

El orden asociado a un reticulado acotado

Dado un reticulado acotado $(L,s,i,0,1)$, llamaremos a $\le =\left\{\right(x,y):xsy=y\}$ el orden parcial asociado a $(L,s,i,0,1)$ y $(L\le )$ sera llamado el poset asociado a $(L,s,i,0,1)$. Notese que tambien tenemos que $\le =\left\{\right(x,y):xiy=x\}$ (¿por que?).

Convencion notacional

Muchos conceptos definidos para posets o reticulados terna pueden aplicarse cuando tenemos un reticulado acotado $(L,s,i,0,1)$. Por ejemplo, si decimos que $(L,s,i,0,1)$ es totalmente ordenado, esto significara que el poset $(L,\le )$ lo es. Si decimos que en $(L,s,i,0,1)$ se da que el supremo de un conjunto $S$ es $a$, nos estaremos refiriendo a que en su poset asociado $(L,\le )$ se da que el supremo de $S$ es $a$. Si decimos que $(L,s,i,0,1)$ es distributivo nos estaremos refiriendo a que $(L,s,i)$ lo es. Etc.

5.4.1 Subreticulados acotados

Dados reticulados acotados $(L,s,i,0,1)$ y $(L^{\prime },s^{\prime },i^{\prime },0^{\prime },1^{\prime })$ diremos que $(L,s,i,0,1)$ es un subreticulado acotado de $(L^{\prime },s^{\prime },i^{\prime },0^{\prime },1^{\prime })$ si se dan las siguientes condiciones

1. (1) $L\subseteq L^{\prime }$

2. (2) $L$ es cerrado bajo las operaciones $s^{\prime }$ e $i^{\prime }$

3. (3) $0=0^{\prime }$ y $1=1^{\prime }$

4. (4) $s=s^{\prime }$$|$${}_{L\times L}$ y $i=i^{\prime }$$|$${}_{L\times L}$

Sea $(L,s,i,0,1)$ un reticulado acotado. Un conjunto $S\subseteq L$ es llamado subuniverso de $(L,s,i,0,1)$ si $0,1\in S$ y ademas $S$ es cerrado bajo las operaciones $s$ e $i$. Es importante notar que si bien los conceptos de subreticulado acotado y subuniverso estan muy relacionados, se trata de conceptos diferentes ya que los subreticulados acotados de $(L,s,i,0,1)$ son reticulados acotados, es decir $5$-uplas y los subuniversos de $(L,s,i,0,1)$ son conjuntos, por lo cual no son $5$-uplas.

Es facil de chequear que si $S$ es un subuniverso de $(L,s,i,0,1)$, entonces $(S,s{\mid }_{S\times S},i{\mid }_{S\times S},0,1)$ es un subreticulado acotado de $(L,s,i,0,1)$ y que todo subreticulado acotado de $(L,s,i,0,1)$ se obtiene en esta forma. Es decir, hay una biyeccion entre el conjunto de los subreticulados acotados de $(L,s,i,0,1)$ y el conjunto de los subuniversos de $(L,s,i,0,1)$ (cual es?). Dicho de manera mas rapida: los subuniversos de $(L,s,i,0,1)$ son ni mas ni menos que los universos de los subreticulados acotados de $(L,s,i,0,1)$.

5.4.2 Homomorfismos de reticulados acotados

Sean $(L,s,i,0,1)$ y $(L^{\prime },s^{\prime },i^{\prime },0^{\prime },1^{\prime })$ reticulados acotados. Una funcion $F:L\to L^{\prime }$ sera llamada un homomorfismo de $(L,s,i,0,1)$ en $(L^{\prime },s^{\prime },i^{\prime },0^{\prime },1^{\prime })$ si para todo $x,y\in L$ se cumple que $$\begin{array}{cc}F\left(xsy\right)& =F\left(x\right)s^{\prime }F\left(y\right)\\ F\left(xiy\right)& =F\left(x\right)i^{\prime }F\left(y\right)\\ F\left(0\right)& =0^{\prime }\\ F\left(1\right)& =1^{\prime }\end{array}$$ Un homomorfismo de $(L,s,i,0,1)$ en $(L^{\prime },s^{\prime },i^{\prime },0^{\prime },1^{\prime })$ sera llamado isomorfismo cuando sea biyectivo y su inversa sea tambien un homomorfismo. Escribiremos $(L,s,i,0,1)\cong (L^{\prime },s^{\prime },i^{\prime },0^{\prime },1^{\prime })$ cuando exista un isomorfismo de $(L,s,i,0,1)$ en $(L^{\prime },s^{\prime },i^{\prime },0^{\prime },1^{\prime })$. Escribiremos "Sea $F:(L,s,i,0,1)\to (L^{\prime },s^{\prime },i^{\prime },0^{\prime },1^{\prime })$ un homomorfismo" para expresar que $F$ es un homomorfismo de $(L,s,i,0,1)$ en $(L^{\prime },s^{\prime },i^{\prime },0^{\prime },1^{\prime })$. No hay que confundirse al leer esta notacion y pensar que $F$ es una funcion cuyo dominio es $(L,s,i,0,1)$, lo cual por otra parte no tiene sentido ya que el dominio de una funcion nunca puede ser una $5$-upla!

Proof. Similar a la prueba del Lemma 5.9.  

Proof. Ya que $F$ es un homomorfismo de $(L,s,i)$ en $(L^{\prime },s^{\prime },i^{\prime })$ tenemos que $I_F$ es subuniverso de $(L^{\prime },s^{\prime },i^{\prime })$ lo cual ya que $0^{\prime },1^{\prime }\in I_F$ implica que $I_F$ es un subuniverso de $(L^{\prime },s^{\prime },i^{\prime },0^{\prime },1^{\prime })$.  

5.4.3 Congruencias de reticulados acotados

Sea $(L,s,i,0,1)$ un reticulado acotado. Una congruencia sobre $(L,s,i,0,1)$ sera una relacion de equivalencia $\theta$ la cual sea una congruencia sobre $(L,s,i)$. Tenemos definidas sobre $L/\theta$ dos operaciones binarias $\tilde{s}$ e $\tilde{ı}$, de la siguiente manera: $$\begin{array}{cc}x/\theta \tilde{s}y/\theta & =\left(xsy\right)/\theta \\ x/\theta \tilde{ı}y/\theta & =\left(xiy\right)/\theta \end{array}$$ La $5$-upla $(L/\theta ,\tilde{s},\tilde{ı},0/\theta ,1/\theta )$ es llamada el cociente de $(L,s,i,0,1)$ sobre $\theta$ y la denotaremos con $(L,s,i,0,1)/\theta$.

Proof. (a) Es facil ver que $(L/\theta ,\tilde{s},\tilde{ı},0/\theta ,1/\theta )$ cumple (I1), (I2),...,(I9) dado que $(L,s,i,0,1)$ las cumple.  

(b) Sigue directamente del Lema 5.15

Proof. Ya que $F$ es un homomorfismo de $(L,s,i)$en $(L^{\prime },s^{\prime },i^{\prime })$ tenemos que por un lema anterior $\ker F$ es una congruencia sobre $(L,s,i)$ lo cual por definicion nos dice que $\ker F$ es una congruencia sobre $(L,s,i,0,1)$.