6.2 Reticulados complementados

Ya que en estas estructuras tenemos tres operaciones distinguidas, denotadas genericamente con $s$, $i$ y $c$ y ademas tenemos dos elementos distinguidos, denotados genericamente con los numerales $0$ y $1$, los terminos elementales de reticulados complementados seran dados por las siguientes clausulas

1. - Los numerales $0$ y $1$ son terminos elementales de reticulados complementados

2. - Cada variable es un termino elemental de reticulados complementados

3. - Cada nombre de elemento fijo es un termino elemental de reticulados complementados

4. - Si $t$ es un termino elemental de reticulados complementados, entonces $c\left(t\right)$ es un termino elemental de reticulados complementados

5. - Si $t$ y $s$ son terminos elementales de reticulados complementados, entonces $\left(tss\right)$ es un termino elemental de reticulados complementados

6. - Si $t$ y $s$ son terminos elementales de reticulados complementados, entonces $\left(tis\right)$ es un termino elemental de reticulados complementados

7. - Una palabra es un termino elemental de reticulados complementados si y solo si se puede construir usando las clausulas anteriores

Deberia quedar claro que arriba $c\left(t\right)$ denota el resultado de concatenar las 4 siguientes palabras $$c\left(t\right)$$ es decir que $c\left(t\right)$ es una palabra de longitud $\left|t\right|+3$. Algunos ejemplos:

1. - $\left(0sc\right(y\left)\right)$

2. - $c\left(0\right)$

3. - $c\left(\right(xsy\left)sz\right))$

4. - $\left(c\right(a\left)sz\right)ix)$

5. - $c\left(c\right(c\left(b\right)\left)\right)$

Las siguientes clausulas definen el concepto de formula elemental de reticulados complementados

1. - Si $t$ y $s$ son terminos elementales de reticulados complementados, entonces la palabra $(t=s)$ es una formula elemental de reticulados complementados

2. - Si ${\phi }_1$ y ${\phi }_2$ son formulas elementales de reticulados complementados, entonces $({\phi }_1\wedge {\phi }_2)$ es una formula elemental de reticulados complementados

3. - Si ${\phi }_1$ y ${\phi }_2$ son formulas elementales de reticulados complementados, entonces $({\phi }_1\vee {\phi }_2)$ es una formula elemental de reticulados complementados

4. - Si ${\phi }_1$ y ${\phi }_2$ son formulas elementales de reticulados complementados, entonces $({\phi }_1\leftrightarrow {\phi }_2)$ es una formula elemental de reticulados complementados

5. - Si ${\phi }_1$ y ${\phi }_2$ son formulas elementales de reticulados complementados, entonces $({\phi }_1\to {\phi }_2)$ es una formula elemental de reticulados complementados

6. - Si $\phi$ es una formula elemental de reticulados complementados, entonces $\neg \phi$ es una formula elemental de reticulados complementados

7. - Si $\phi$ es una formula elemental de reticulados complementados, entonces las palabras $$\forall x\phi \forall y\phi \forall z\phi ...$$ son formulas elementales de reticulados complementados

8. - Si $\phi$ es una formula elemental de reticulados complementados, entonces las palabras $$\exists x\phi \exists y\phi \exists z\phi ...$$ son formulas elementales de reticulados complementados

9. - Una palabra es una formula elemental de reticulados complementados si y solo si se puede construir usando las clausulas anteriores

Notese que por ejemplo la palabra $(x\le y)$ no es una formula elemental de reticulados complementados. Esto es debido a que en la definicion de reticulado complementado solo intervienen las operaciones $s,i,c$ y los elementos distinguidos $0,1$.

Por supuesto, los terminos o formulas elementales de reticulados complementados en los cuales no ocurran nombres de elementos fijos seran llamados puros.

Dejamos al lector dar las definiciones de formula elemental de reticulado terna y de formula elemental de reticulado acotado. A continuacion analizaremos las formulas elementales de otros tres tipos de estructuras.