6 Estructuras y su lenguaje elemental

En la seccion de reticulados cuaterna del capitulo anterior desarrollamos a manera intuitiva un tipo de formulas y pruebas muy particulares asociadas con los reticulados cuaterna. Les llamamos formulas elementales y pruebas elementales por lo basicas y simples que son. En este capitulo haremos lo mismo con las otras estructuras que venimos trabajando y con algunas nuevas. Esto dejara el terreno listo para hacer en el Capitulo [capitulo logica matematica] un tratamiento general del concepto de estructura y su lenguaje elemental.

Es importante notar que las estructuras que hemos estudiado en el Capitulo [capitulo estructuras algebraicas ordenadas] son todas de un formato similar, a saber uplas formadas por una primera coordenada que es un conjunto no vacio (llamado el universo de la estructura) y luego ciertas relaciones, operaciones y elementos distinguidos, dependiendo del caso. Otra cosa importante a notar es que para cada tipo de estructura hay ciertos simbolos fijos que usamos en forma generica para denotar sus relaciones, operaciones y elementos distinguidos. Por ejemplo:

  1. adhocprefix-adhocsufix Para los posets usamos el simbolo \(\leq\) para denotar su relacion binaria de orden parcial en un sentido generico (este tipo de estructuras no tiene operaciones ni elementos distinguidos).

  2. adhocprefix-adhocsufix Para el caso de los reticulados terna usamos en forma generica los simbolos \(\mathsf{s}\) e \(\mathsf{i}\) para denotar sus operaciones binarias de supremo e infimo (este tipo de estructuras no tiene relaciones ni elementos distinguidos).

  3. adhocprefix-adhocsufix Para el caso de los reticulados acotados usamos en forma generica los simbolos \(\mathsf{s}\) e \(\mathsf{i}\) para denotar sus operaciones binarias de supremo e infimo y los numerales \(0\) y \(1\) para denotar sus elementos distinguidos, a saber minimo y maximo respectivamente.

  4. adhocprefix-adhocsufix Para el caso de los reticulados complementados usamos en forma generica los simbolos \(\mathsf{s}\) e \(\mathsf{i}\) para denotar sus operaciones binarias de supremo e infimo, el simbolo \(c\) para denotar su operacion unaria de complementacion y los numerales \(0\) y \(1\) para denotar sus elementos distinguidos, a saber minimo y maximo respectivamente.

  5. adhocprefix-adhocsufix Para el caso de los reticulados cuaterna usamos en forma generica los simbolos \(\mathsf{s}\) e \(\mathsf{i}\) para denotar sus operaciones binarias de supremo e infimo y el simbolo \(\leq\) para denotar su relacion binaria de orden parcial.

Para el caso de los reticulados cuaterna, estos simbolos genericos (\(\mathsf{s}\), \(\mathsf{i}\) y \(\leq\)) son justamente los que intervienen (aparte de los simbolos clasicos) en la construccion de las formulas elementales. Es decir que para dar nuestra definicion de formula elemental para alguno de estos otros tipos de estructura, usaremos la misma idea, es decir seran aquellas formulas que se pueden construir (de forma adecuada) usando solo los simbolos genericos del tipo de estructura en cuestion mas simbolos de la lista de simbolos clasicos:

  1. adhocprefix-adhocsufix \(\forall\ \exists\;\lnot\;\vee\;\wedge\;\rightarrow\;\leftrightarrow\;(\;,\;)\;=\)

  2. adhocprefix-adhocsufix \(x,y,z,w,...\)

  3. adhocprefix-adhocsufix \(a,b,c,d,...\)

A continuacion iremos viendo los distintos casos (algunos quedaran como ejercicios) y agregaremos tambien tres tipos de estructuras mas para hacer mas general aun nuestra perspectiva del tema.