Median algebras

6.5 Median algebras

Una median algebra es un par $(A, M)$ donde $A$ es un conjunto no vacio, $M$ es una operacion $3$ -aria sobre $A$ (i.e. $M : A^{3} \to A$ ) y se cumplen:

$M (x, y, z) = M (x, z, y)$ , cualesquiera sean $x, y, z \in A$
$M (x, y, z) = M (y, z, x)$ , cualesquiera sean $x, y, z \in A$
$M (x, x, y) = x$ , cualesquiera sean $x, y \in A$
$M (M (x, y, z), u, v)) = M (x, M (y, u, v), M (z, u, v))$ , cualesquiera sean $x, y, z, u, v \in A$

Por ejemplo si tomamos un reticulado terna $(L, s, i)$ y definimos $M (x, y, z) = (x i y) s (x i z) s (y i z)$ , para cada $x, y, z \in L$ , entonces $(L, M)$ es una median algebra. Estas estructuras han sido extensivamente estudiadas y tienen un roll importante en la informatica teorica.

Ya que hay una unica operacion distinguida la cual denotamos genericamente con la letra $M$ , los terminos elementales de median algebras seran dados por las siguientes clausulas

- Cada variable es un termino elemental de median algebras
- Cada nombre de elemento fijo es un termino elemental de median algebras
- Si $t_{1}, t_{2}, t_{3}$ son terminos elementales de median algebras, entonces $M (t_{1}, t_{2}, t_{3})$ es un termino elemental de median algebras
- Una palabra es un termino elemental de median algebras si y solo si se puede construir usando las clausulas anteriores

Deberia quedar claro que arriba $M (t_{1}, t_{2}, t_{3})$ denota el resultado de concatenar las 8 siguientes palabras $M (t_{1}, t_{2}, t_{3})$ es decir que $M (t_{1}, t_{2}, t_{3})$ es una palabra de longitud $| t_{1} | + | t_{2} | + | t_{3} | + 5$ . Algunos ejemplos:

- $M (x, y, z)$
- $M (M (a, a, a), a, a)$
- $M (a, b, M (M (M (x, y, z), u, v), x, a)$
- $x$
- $a$

Ahora seguramente el lector no tendra problema para definir las formulas elementales de median algebras. Algunos ejemplos:

- $\exists x \exists y (M (x, y, z) = z)$
- $\forall x \forall y \forall z ((M (x, y, a) = M (x, y, b)) \to (a = b))$
- $\forall x \forall y (M (x, y, y) = y)$

Dejamos al lector que defina el concepto de formula elemental de median algebras