6.5 Median algebras

Una median algebra es un par \((A,M)\) donde \(A\) es un conjunto no vacio, \(M\) es una operacion \(3\)-aria sobre \(A\) (i.e. \(M:A^{3}\rightarrow A\)) y se cumplen:

  1. \(M(x,y,z)=M(x,z,y)\), cualesquiera sean \(x,y,z\in A\)

  2. \(M(x,y,z)=M(y,z,x)\), cualesquiera sean \(x,y,z\in A\)

  3. \(M(x,x,y)=x\), cualesquiera sean \(x,y\in A\)

  4. \(M(M(x,y,z),u,v))=M(x,M(y,u,v),M(z,u,v))\), cualesquiera sean \(x,y,z,u,v\in A\)

Por ejemplo si tomamos un reticulado terna \((L,\mathsf{s},\mathsf{i})\) y definimos \(M(x,y,z)=(x\;\mathsf{i\;}y)\;\mathsf{s\;}(x\;\mathsf{i\;}z)\;\mathsf{s\;}(y\;\mathsf{i\;}z)\), para cada \(x,y,z\in L\), entonces \((L,M)\) es una median algebra. Estas estructuras han sido extensivamente estudiadas y tienen un roll importante en la informatica teorica.

Ya que hay una unica operacion distinguida la cual denotamos genericamente con la letra \(M\), los terminos elementales de median algebras seran dados por las siguientes clausulas

  1. adhocprefix-adhocsufix Cada variable es un termino elemental de median algebras

  2. adhocprefix-adhocsufix Cada nombre de elemento fijo es un termino elemental de median algebras

  3. adhocprefix-adhocsufix Si \(t_{1},t_{2},t_{3}\) son terminos elementales de median algebras, entonces \(M(t_{1},t_{2},t_{3})\) es un termino elemental de median algebras

  4. adhocprefix-adhocsufix Una palabra es un termino elemental de median algebras si y solo si se puede construir usando las clausulas anteriores

Deberia quedar claro que arriba \(M(t_{1},t_{2},t_{3})\) denota el resultado de concatenar las 8 siguientes palabras \[M\;\;\;\;\;\;(\;\;\;\;\;\;t_{1}\;\;\;\;\;\;,\;\;\;\;\;\;t_{2}\;\;\;\;\;\;,\;\;\;\;\;\;t_{3}\;\;\;\;\;\;)\] es decir que \(M(t_{1},t_{2},t_{3})\) es una palabra de longitud \(\left|t_{1}\right|+\left|t_{2}\right|+\left|t_{3}\right|+5\). Algunos ejemplos:

  1. adhocprefix-adhocsufix \(M(x,y,z)\)

  2. adhocprefix-adhocsufix \(M(M(a,a,a),a,a)\)

  3. adhocprefix-adhocsufix \(M(a,b,M(M(M(x,y,z),u,v),x,a)\)

  4. adhocprefix-adhocsufix \(x\)

  5. adhocprefix-adhocsufix \(a\)

Ahora seguramente el lector no tendra problema para definir las formulas elementales de median algebras. Algunos ejemplos:

  1. adhocprefix-adhocsufix \(\exists x\exists y(M(x,y,z)=z)\)

  2. adhocprefix-adhocsufix \(\forall x\forall y\forall z((M(x,y,a)=M(x,y,b))\rightarrow(a=b))\)

  3. adhocprefix-adhocsufix \(\forall x\forall y(M(x,y,y)=y)\)

Dejamos al lector que defina el concepto de formula elemental de median algebras